Memoirs presented to the Cambridge philosophical society on the occasion of the jubilee of Sir George Gabriel Stokes, bart., Hon. LL. D., Hon. SC. D., Lucasian professor.

M. H. POINCARÉ, SUR LES GROUPES CONTINUS. 241
D'autre part on a:
dA
(3 bis) b (a + da, /)- 0 (a,/) = d E -.
da/
dA
Cette égalité, rapprochée de la remarque que nous venons de faire, montre que dest une combinaison linéaire des coefficients A.
Donc ces coefficients A, considérés comme fonctions de a, satisfont à des équations
linéaires à coefficients constants.
De plus pour a=O ils doivent se réduire aux coefficients de eT. Ces conditions
suffisent pour les déterminer.
Or je dis que l'on peut y satisfaire en faisant (conformément à la formule 2 bis):
f (a, f) = el'; U = e-a (T).
En effet cette formule nous donne:
( (a + da, f/) = ePu', U' = e-(a+da (T),
et il s'agit de vérifier que:
e- da. V elU eda. V e '.
Or la formule (2 bis) démontrée quand on néglige d'une part le carré de fS, d'autre
part le carré de a, peut s'appliquer ici puisque nous négligeons le carré de f8 et celui
de da. Nous avons donc
e-da. V eu eda. V=e", U"=e-da. (U),
d'où:
U" = e-da. 0e -aO (T)]= - a -0(T) = U'.
On a donc bien:
b (a + da, /) = e-' V ed~ eeda v= ee".
C. Q. F. D.
La formule (2 bis) satisfait donc à nos équations différentielles et comme ces équations
ne comportent qu'une solution, cette formule se trouve vérifiée.
Poussons maintenant l'approximation aussi loin que nous voulons tant par rapport
aà f que par rapport à a.
Nous avons:
(a, )= e- aveTeav;
d'où:
f (a, f/ + dSi) = e-Ve(+dp)Tea = (e-aeeave) (e-aVedp. TeaV)
OU
(a, 3+d 3)= (a, /) (a, d3).
Comme nous négligeons le carré de dfi, je puis écrire:
O(a, d/.)= eda; U= e- (T);
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