Memoirs presented to the Cambridge philosophical society on the occasion of the jubilee of Sir George Gabriel Stokes, bart., Hon. LL. D., Hon. SC. D., Lucasian professor.

240 M. H. POINCARÉ, SUR LES GROUPES CONTINUS.
VI. FORMULES FONDAMENTALES.
Considérons l'expression
(1) e-aVeT eaV,
V et T ayant même signification que dans le ~ précédent, tandis que a et 3 sont
des constantes très petites. Développons cette expression en négligeant les termes du
3e ordre par rapport à a et à f; il viendra:
(1- iav2~ ) (î+fT i+ 2 )(~V+a 4+ 2 2)
OU
fiT2
1 + -3 c- -af3 (VT- TV),
ou avec la même approximation:
eg T-a (VT- TV).
On aura donc, toujours avec cette approximation:
(2) e-'vePTeVeuer, où U= T-aO(T),
ou encore avec la même approximation:
(2 bis) e-eV egTeoV= e u, où U=e-ao (T).
Je me propose maintenant de démontrer que la formule (2 bis) est vraie quelque
loin que l'on pousse l'approximation; et d'abord qu'elle est vraie quand on néglige le
carré de f et qu'on pousse l'approximation par rapport à a aussi loin que l'on veut.
Supposons donc qu'on pousse l'approximation jusqu'aux termes en / et jusqu'aux
termes en am inclusivement. Dans l'expression (1) nous remplacerons ePT par I + fT,
eav et e-~v par les m + premiers termes de leurs développements; en effectuant le
produit (et négligeant dans ce produit arm+l) nous obtiendrons un polynôme symbolique
que nous pourrons rendre régulier par les procédés du N~ III. Soit
^>(a, 3)= SAin,
le polynôme régulier ainsi obtenu; II est un monôme symbolique, et A son coefficient qui
est un polynôme entier en a et 3.
Nous avons alors:
(3) 0 (a + da, f) = e-(+d)> V ePTe(+~a) v= e-d v (a, f) ed. v.
En effectuant le produit du 3e membre de cette double égalité, et négligeant le
carré de la différentielle da, on obtiendra un polynôme régulier de même forme dont
les coefficients sont eux-mêmes des polynômes du 1er degré par rapport à da d'une
part, par rapport aux coSfficients A d'autre part. Telle est la forme du polynôme
b (a + da, f).