Memoirs presented to the Cambridge philosophical society on the occasion of the jubilee of Sir George Gabriel Stokes, bart., Hon. LL. D., Hon. SC. D., Lucasian professor.

M. H. POINCARÉ, SUR LES GROUPES CONTINUS. 239
X, et que les X sont liés par les relations (1) et (3) du N~ IV. (relations de structure et identités de Jacobi).
Alors en effet les cas où l'équation caractéristique a des racines multiples ne pourraient plus être regardés comme des cas particuliers de ceux où toutes les racines sont
distinctes. On aurait pu, il est vrai, démontrer directement la formule (4 bis) et se
servir de cette formule; mais j'ai préféré ne pas m'imposer au début cette hypothèse
restrictive, quitte à l'introduire dans la suite du calcul, de façon à avoir le droit de
raisonner par passage à la limite.
Quoi qu'il en soit, le cas le plus intéressant au point de vue des applications à
la théorie des groupes, c'est celui où cette hypothèse restrictive est satisfaite. Supposons donc que V soit une combinaison linéaire des X:
V = V1X1 + V2X9 +... + VrX..
Supposons de plus que les X soient liées par les relations (1) du N~ précédent
XiXj - XjXi = =CijsXs)
et que les constantes c satisfont à des relations telles que les identités (3) du N~ précédent aient lieu.
On aura alors:
0 (T)= CiisVitjX,
d'où:
bti.î =CiL.,V + C2.-i-kV +. + C -ik,.v
Les résultats, démontrés dans le cas général, seront évidemment encore vrais dans ce
cas particulier; si donc on pose:
( (0) (T)_= hiXi,
les hi seront des fonctions linéaires des t, et des fonctions rationnelles des v, des 0k,
des ( (0k) et de quelques unes de leurs dérivées. Les 0k sont les racines d'une équation
algébrique dont le premier membre est un polynôme entier homogène de degré r par
rapport aux v et à l'inconnue 0.
De plus les hi ne dépendent que linéairement des p (0k) et de leurs dérivées.
Si ~ () est une fonction entière de:, les hi sont des fonctions entières des v.
Dans tous les cas, le symbole p (0)(T) se trouve entièrement défini.
Je terminerai par deux remarques:
1~. Si, (:) est le produit des deux fonctions <p () et r(tr), on aura:
< (0) () [ (T)] = (0) [< (0) (T) = ( ) (T).
2~. Si on a:
(o) (T)= U,
on aura:
Cette dernière égalité n'a de sens que si <p (:) ne s'annule pas pour = 0, de telle
facon que <p7 () soit développable suivant les puissances de 0.