Memoirs presented to the Cambridge philosophical society on the occasion of the jubilee of Sir George Gabriel Stokes, bart., Hon. LL. D., Hon. SC. D., Lucasian professor.

238 M. H. POINCARÉ, SUR LES GROUPES CONTINUS.
à supposer en même temps que le rayon de convergence de la série (:) est plus
grand que le plus grand module des quantités 01, 02,..., r.
On a alors pour tous les points du contour d'intégration:
| |> e tl, > |> 0,..1 >., | >...r,
d'où il résulte que la fonction rationnelle
P7j
F(t)
est développable suivant les puissances croissantes des b. Il en est donc de même
des hl.
Nous avons dit plus haut que les hi sont développables en séries procédant suivant
les puissances des b; et d'après ce qui précède, il suffit, pour que ces séries convergent,
que le rayon de convergence de la série s (f) soit plus grand que la plus grande des
quantités
1 | 0 [, | |,......., | 1r
Si donc b (e) est une fonction entière, les hi seront des fonctions entières des b.
Qu'arrive-t-il maintenant si l'équation caractéristique
F (0)= O
a des racines multiples? Il est aisé de s'en rendre compte en partant du cas général
et en passant à la limite.
Je suppose par exemple que 01 soit une racine triple. Alors F (t) contient le
facteur (t-0)3. Si je décompose le second membre de (3) en éléments simples, trois de
ces éléments deviendront infinis pour y= 01.
Soient
Al(i) A2(i) A3(i)
+
ces trois éléments simples. Alors il faudra dans la formule (4) remplacer le terme:
F/ ('1)
(qui n'aurait plus de sens dans le cas d'une racine multiple) par les trois termes
suivants:
2A1(i> Xix (0) - (1!) SA,2() X ' (0,) + (2!) 2A3() Xib" (01).
On opérerait de même pour les autres racines multiples.
Donc les hi, dans le cas des racines multiples, sont des fonctions rationnelles des b,
des Ok, des (0Ok) et de leurs dérivés '(0k),./"(0k),.....; on pousse jusqu'à 4(P>(0k) si
0k est une racine multiple d'ordre p+ 1.
Remarquons que je n'aurais pu faire ce raisonnement par passage à la limite, si
je m'étais restreint dès le début en supposant que V est une combinaison linéaire des