Memoirs presented to the Cambridge philosophical society on the occasion of the jubilee of Sir George Gabriel Stokes, bart., Hon. LL. D., Hon. SC. D., Lucasian professor.

236 M. H. POINCARÉ, SUR LES GROUPES CONTINUS.
Je poserai
0 [0 (T)] = 02 (T), 0 [Om ()] = 0m+1 (T)
de sorte que Om (T) sera comme T une combinaison linéaire des X, les coefficients de
dm (T) se déduisant de ceux de T en répétant qm fois cette même substitution linéaire.
Si maintenant
(0)= 2gkOk.est un polynôme ou une série ordonnée suivant les puissances croissantes de 0, j'écrirai:
(0) (T)
au lieu de
-gkOk (T).
Considérons l'équation, dite caractéristique:
bl - 0, b2,..., blr
(1) b22 - 0,.., =.
( 0.....................................
br,..,..., br- 0
Si cette équation a toutes ses racines distinctes et si ces racines sont 01, 02,..,
il existe r combinaisons linéaires des Xi, à savoir:
(2) Yk = aik Xi,
telles que:
VYk - YkV= Ok Yk.
Si alors on a:
T= tXtiX = Etk Yk,
on aura:
> (0) (T) = b0 (0k) tk Yk.
Si nous posons:
(O) (T)- = hiXi,
nous voyons d'abord que les coefficients hi sont des fonctions linéaires des t; ce sont
d'autre part des fonctions des b; étudions ces fonctions.
Si b (0) est un polynôme entier d'ordre p en 0, les hi seront des polynômes
entiers d'ordre p par rapport aux b. Si donc b (0) est une série ordonnée suivant
les puissances de 0, les hi se présenteront sous la forme de séries ordonnées suivant
les puissances des b. Nous allons voir bientôt quelles sont les conditions de convergence de ces séries.
Des équations (2) on tire en effet:
Xi = /3Sik Yk,
d'où:
tk = - ikti,
t) (0) (T) =: (ok) t'kaikXi,