Memoirs presented to the Cambridge philosophical society on the occasion of the jubilee of Sir George Gabriel Stokes, bart., Hon. LL. D., Hon. SC. D., Lucasian professor.

M. H. POINCARÉ, SUR LES GROUPES CONTINUS. 235
Ces opérateurs étant associatifs, on aura
eY(f) = eTe (f),
c'est-à-dire, en négligeant les quantités du 3e ordre par rapport aux t et aux u:
YTU- UT
Y=T+U+ 2
D'autre part, d'après la manière dont ont été formées les fonctions bk, on vérifie que
Y= T + U + 2 (TU) = Yti Xi + 2UkXk +4 1 2 (tfk - tkui) (Xi Xk),
et la comparaison de ces deux identités donne:
XiXk - XkXi = (XiXk),
où les coefficients des fonctions linéaires (XiXk) sont bien les r3 coefficients c donnés.
Le groupe ainsi formé a donc bien la structure donnée et le troisième théorème
de Lie est démontré.
C'est au fond la démonstration de Schur.
Ce que j'appellerai le problème de Campbell consiste donc à démontrer directement la formule (5), ce qui démontre à la fois le second et le troisième théorème
de Lie.
V. LE SYMBOLE 5 (0).
Considérons r opérateurs élémentaires
X1, X2,..., X.,
et une de leurs combinaisons linéaires:
T = tIX + t2X2 +...+ tXr.
Soit ensuite V un autre opérateur élémentaire qui pourra être ou ne pas être
une combinaison linéaire des opérateurs X.
Supposons que les opérateurs V et X soient liés par des relations de la forme:
VXY- XV = bi. X, + bi.,X2 +... + bi. Xr
(ti=l, 2,.... r),
on aura alors:
VT - TV= ZukXk,
où
U]k = bi.kti.
Je poserai
VT- TV= 0(T).
Donc O (T) est comme T une combinaison linéaire des X; et les coefficients de
O(T) se déduisent de ceux de T par une substitution linéaire.
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