Memoirs presented to the Cambridge philosophical society on the occasion of the jubilee of Sir George Gabriel Stokes, bart., Hon. LL. D., Hon. SC. D., Lucasian professor.

234 M. H. POINCARE, SUR LES GROUPES CONTINUS.
ceux de (XY). Enfin les constantes c doivent être choisies de telle façon que les
identités (3) soient satisfaites. J'adjoins donc aux identités (3) les identités suivantes
qui sont evidentes:
(3 bis) (XX)=O, (X Y)= - (YX).
Le 3e théorème de Lie nous apprend qu'on peut toujours trouver un groupe de
structure donnée; pourvu que les coefficients c qui définissent cette structure satisfassent
aux identités (3) et (3 bis), c'est-à-dire aux identités de Jacobi.
Mais supposons inversement qu'on ait démontré directement l'identité (5) et par
conséquent la formule (4). Les coëfficients w seront donnés en fonctions de v et de t;
et je puis écrire:
(6) Wkl= Ok (Vi, ti)Pour former les fonctions dk, il suffit de savoir former le polynôme TW, par conséquent de savoir former les polynômes W (p, m, n); c'est-à-dire de savoir réduire un
polynôme quelconque en polynôme régulier; pour cela il suffit de connaître les coefficients c.
Soit
eVeT'= eW; eweu=eZ; eTeu= eY;
où
U=C-UkXk, Z= ZkX`Xk, Y = ykXkLe caractère associatif de nos opérateurs nous montre que l'on a:
eveY= eZ
d'où les relations suivantes:
Wk = k (Vi, ti); yk = (ti, Ui).
(7) Zk = k (Wi, i) = k (Vi, yi).
Regardons dans les équations (6) les t comme des constantes; ces équations (6)
définiront une transformation qui transforme vi, v2,..., v,. en w,, w2,..., w,.. Les relations
(7) nous enseignent que l'ensemble de ces transformations constitue un groupe.
(C'est ce que Lie appelle la Parametergruppe.)
Les substitutions infinitésimales de ce groupe sont:
Xi (f)= L cl d- P
'dvk dti'
où dans ok(vi, ti) on annule les t après la différentiation.
Les r substitutions infinitésimales Xi(f) sont linéairement indépendantes. Et en
effet, pour qu'elles ne le fussent pas, il faudrait que le déterminant fonctionnel des
bk par rapport aux t fût nul, quels que soient les v quand les t s'annulent. Or cela
n'a pas lieu car ce déterminant devient égal à 1 quand les v s'annulent.
Ayant ainsi défini les opérateurs élémentaires X? (f), leurs combinaisons T -= StX (f),
eT, etc. se trouvent définis eux-mêmes.