Memoirs presented to the Cambridge philosophical society on the occasion of the jubilee of Sir George Gabriel Stokes, bart., Hon. LL. D., Hon. SC. D., Lucasian professor.

M. H. POINCARÉ, SUR LES GROUPES CONTINUS. 233
où
W = WlXl + W2X2 +... + wrXr
est une autre combinaison linéaire des X.
Les coefficients w sont évidemment des fonctions des v et des t.
Développons le produit:
VmTn
eveT= --
mz! n!
VmTn
Le terme général - est un polynôme d'ordre m + n. Par les relations (1) on
m! n!
peut le réduire à un polynôme régulier, et cette réduction ne peut se faire que d'une
seule manière.
Nous pouvons donc écrire:
VmTn
= Y, W (p, m, n),
m!n!
où W(p, m, n) est un polynôme régulier et homogène d'ordre p (p m + n); on a donc:
eve% = p.. n W (p, m, n).
Si nous réunissons les termes de même degré et que nous posions
Wp =,%.nr(p, a, ),
il viendra:
eVeT= p wp.
Le second théorème de Lie, que je viens de rappeler, nous apprend que le second
membre doit être de la forme ew, et par conséquent que:
WP
(5) Wp= W1.
C'est là une proposition dont la simplicité serait inattendue, si l'on ne connaissait
pas la théorie des groupes.
Si on pouvait la démontrer directement on aurait, comme l'a remarqué Campbell,
une nouvelle démonstration du second théorème de Lie.
Mais il y a plus; on aurait aussi une nouvelle démonstration du troisième théorème
de Lie.
Les égalités (1) nous font connaître des relations entre les opérateurs élémentaires
et les combinaisons XY- YX; ce sont ces relations qui constituent la structure du groupe.
Cette structure est donc entièrement définie quand on connaît les r3 coefficients c des
r2 fonctions linéaires (XY).
Mais ces r3 constantes c ne sont pas toutes indépendantes; tous les coëfficients de
(XX) doivent être nuls; les coëfficients de (YX) sont égaux et de signe contraire à
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