Memoirs presented to the Cambridge philosophical society on the occasion of the jubilee of Sir George Gabriel Stokes, bart., Hon. LL. D., Hon. SC. D., Lucasian professor.

232 M. H. POINCARÉ, SUR LES GROUPES CONTINUS.
chaîne V n'existe que s'il y a au moins quatre facteurs. Mais la seule chaîne fermée
du 3e ordre est la chaîne S3 - T envisagée plus haut et nous avons vu qu'elle est
la tête d'une somme régulière qui est identiquement nulle si les identités (3) ont lieu.
Le théorème est donc établi dans toute sa généralité.
Toute somme régulière est identiquement nulle.
Donc un polynôme régulier qui n'est pas identiquement nul ne peut pas s'annuler
en vertu des relations (1).
Donc en résumé,
Si les identités (3) ont lieu, les relations (1) permettent d'une manière, et d'une seule,
de réduire un polynôme quelconque àc un polynôme régulier.
IV. PROBLÈME DE CAMPBELL.
Soient
Xl X2i * X Xr
r opérateurs élémentaires; supposons qu'ils soient liés par les relations
(1) XaXb - XbXa = (XaXb),
(XaXb) étant une combinaison linéaire des Xk; supposons de plus qu'on ait les identités
(3) ((XAXb) Xc) + ((XbX) Xa) + ((Xc) Xb) = O.
D'après le deuxième théorème de Lie, ces opérateurs donnent naissance à un "groupe
continu," qui admet r transformations infinitésimales indépendantes. Ces transformations
infinitésimales changent f en
f + ^x (f),
e étant une constante infiniment petite.
Soit
T = tX~ + t2X9 +... + trXr,
une combinaison linéaire de ces opérateurs. Les tk sont des coefficients constants quelconques. La transformation finie la plus générale du groupe s'exprimera par le symbole:
e (f).
Soient maintenant
T = tlX + t2X2 +... + tXr,
V = v 4X + v2X2 +. + VrXr,
deux combinaisons linéaires des X. Comme les transformations eT forment un groupe, le
produit
eVeT
devra également faire partie du groupe, de sorte que nous devrons avoir:
(4) eVeT=ew,