Memoirs presented to the Cambridge philosophical society on the occasion of the jubilee of Sir George Gabriel Stokes, bart., Hon. LL. D., Hon. SC. D., Lucasian professor.

M. H. POINCARÉ, SUR LES GROUPES CONTINUS. 231
peut être décomposée en cinq chaînes fermées composantes, à savoir:
U =C"' + C + D'-El-Di,
U'1 = C' + D2 - E' - D'1,
U2 = C2 + D,2 - E2-D2,
U', = C'2 + C" + D1 - E' - D',
V= E, + E' - + E,+ ',.
I1 s'agit donc de montrer que chacune de ces cinq chaînes fermées est la tête
d'une somme régulière identiquement nulle.
Pour les quatre premières, qui sont des chaînes simples fermées, le théorème est
évident. On l'a supposé démontré, en effet, pour les chaînes fermées d'ordre inférieur à
p. Or il est clair que l'on a par exemple:
U,= XH,
H étant une chaîne fermée d'ordre p- 1.
Quant à V, ce sera la tête de la somme régulière
[XY- YX - (XY)] PZT+ YXP [ZT- TZ- (ZT)] - [XY - YX - (XY)] PTZ
- XYP [ZT- TZ - (ZT)] + (XY) P [ZT- TZ- (ZT)] - [X Y- YX - (XY)] P (ZT),
qui est identiquement nulle.
Il reste à envisager ce qui se passe quand deux des opérateurs X, Y, Z, T sont
identiques, par exemple X = Y, ou X = Z.
Nous devons alors distinguer le cas où les divers monômes positifs ou négatifs de
notre chaîne contiennent deux facteurs identiques, l'un jouant le rôle de X et l'autre
le rôle de Y (ou l'un le rôle de X et l'autre celui de Z); il n'y a alors rien à
changer à l'analyse qui précède.
Et d'autre part le cas où ces monômes ne contiennent qu'un seul facteur X.
Le premier cas pourra seul se présenter si l'on suppose X = Z, ou X= T, et s'il
y a plus de trois facteurs en tout.
Le second cas pourra au contraire se présenter si l'on suppose par exemple X = Y;
mais on posera alors:
Q1= Q'2 = XPZT; Q', = Q2 = XPTZ.
La définition des diverses chaînes demeurera d'ailleurs la même et on constatera
immédiatement que la chaîne V est identiquement nulle.
Le théorème est donc démontré pour les sommes d'ordre p, s'il l'est pour les sommes
d'ordre moindre.
La demonstration précédente n'est toutefois pas applicable au cas de p=3; car la