Memoirs presented to the Cambridge philosophical society on the occasion of the jubilee of Sir George Gabriel Stokes, bart., Hon. LL. D., Hon. SC. D., Lucasian professor.

230 M. H. POINCARÉ, SUR LES GROUPES CONTINUS.
S' ne contient que quatre chaînes simples; car (C"'+ C1) et (C' + C") sont des
chaînes simples; S" contient deux chaînes simples de moins que S.
En poursuivant on finira par décomposer S eni chaînes fermées composantes, formées
seulement de quatre chaînes simples. Il nous suffit donc d'envisager les chaînes fermées
formées de quatre chaînes simples comme par exemple S'.
Les monômes positifs extrêmes des quatre chaînes simples qui forment S' ont
respectivement pour premier et dernier facteurs:
pour C"'+ C1, X et T,,, C', X et Z,, C, Y et Z,
C', + C", Y et T.
Soient M1, M'1, M2, M'2 ces quatre monômes.
Tous ces monômes sont équipollents entre eux et équipollents à un certain monôme
que j'appellerai XYPZT.
Nous allons alors construire une série de chaînes simples, comprises dans le tableau
suivant, où dans la première colonne se trouve la lettre qui désigne la chaîne, dans
le seconde le monôme extrême positif, dans la troisième le monôme extrême négatif;
je fais figurer dans le même tableau les quatre chaînes simples qui forment S' et je pose
pour abréger:
Q = XYPZT; Q'1= XYPTZ; Q, = YXPTZ; Q' = YXPZT:
Nom de la chaîne Monôme positif Monôme négatif Nom de la chaîne Monôme positif Monôme négatif
C"'+ Cl M, -MD M2 -Q2
GC'"M M' -M, D M' -Q2
C2 M -M' E, Q1 -Q'I
C' M', -M, E', Q1 -Q
D M, -Q E2 Q2 -Q 2
1D)_ M'1 - Q' E'2 Q'2 - Q1
On peut supposer que tous les monômes de la chaîne -D ont pour premier et
dernier facteurs X et T; de sorte que D1 est à la fois une chaîne simple de 1-èr sorte
et une chaîne simple de 2e sorte. Il en est de même des autres chaînes D. On
peut supposer de plus que les chaînes E se réduisent à un seul produit trinôme de
manière que par exemple:
E, = X YP [ZT- TZ- (ZT)].
La chaîne fermée:
S' = ("' + C)+ C' + C+ C'