Memoirs presented to the Cambridge philosophical society on the occasion of the jubilee of Sir George Gabriel Stokes, bart., Hon. LL. D., Hon. SC. D., Lucasian professor.

M. H. POINCARÉE, SUR LES GROUPES CONTINUS. 229
Il me suffira donc de former toutes les chaînes fermées de degré p et de montrer
que chacune d'elles peut être regardée comme la tête d'une somme régulière identiquement nulle.
Toute somme régulière S d'ordre p a en effet pour tête une de ces chaînes fermées,
par exemple S'; si donc je montre que l'une des sommes régulières dont la tête est S'
est identiquement nulle, il en sera de même de toutes les autres et en particulier de S.
Pour établir ce point, je vais décomposer la chaîne fermée envisagée en plusieurs
chaînes fermées composantes.
Il me suffira de démontrer la proposition pour chacune des composantes.
J'appellerai chaîne simple de la 1è'e sorte toute chaîne où le premier facteur de
tous les monômes soit positifs soit négatifs sera partout le même.
J'appellerai chaîne simple de la 2e sorte toute chaîne où le dernier facteur de
tous les monômes sera partout le même.
Une chaîne simple peut d'ailleurs être ouverte ou fermée.
Il est évident que toute chaîne fermée peut être regardée comme la somme d'un
certain nombre de chaînes simples, alternativement de la 1ère et de la 2e sorte.
Soit donc S une chaîne fermée, Cl, C2,..., Cn, des chaînes simples de la 1e'" sorte,
C/', C',..., C', des chaînes simples de la 2e sorte, on aura:
S = G C', + + '+ +... + Oî, + c',,
le monôme négatif extrême de chaque chaîne étant bien entendu égal et de signe
contraire au monôme positif extrême de la chaîne suivante, et le monôme négatif
extrême de C'n égal et de signe contraire au monôme positif extreme de CI.
Soit X le premier facteur de tous les monômes de CI, Z le dernier facteur de
tous les monômes de C'0, Y le premier facteur de tous les monômes de C,, T le
dernier facteur de tous les monômes de C', (je n'exclus pas le cas où deux des
opérateurs X, Y, Z, T seraient identiques).
Soit alors C" une chaîne simple de la 2e sorte ayant son monôme positif extrême
égal et de signe contraire au monôme négatif extrême de C',; dont tous les monômes
ont pour dernier facteur T; et dont le monôme négatif extrême a pour premier
facteur X.
Soit C'" une chaîne simple de la 1è'" sorte dont tous les monômes ont pour
premier facteur X et dont les monômes extrêmes sont respectivement égaux et de
signe contraire au monôme négatif extrême de G" et au monôme positif extrême de C,.
La chaîne fermée S se trouvera décomposée en deux chaînes fermées composantes,
à savoir:
S' = (C" +,) C + CG + (CG 2 + C"),
S"=- G" +,C', +... + C '+ - C '".