Memoirs presented to the Cambridge philosophical society on the occasion of the jubilee of Sir George Gabriel Stokes, bart., Hon. LL. D., Hon. SC. D., Lucasian professor.

228 M. H. POINCARÉ, SUR LES GROUPES CONTINUS.
Je dirai pour abréger une somme régulière pour désigner une somme de produits
trinômes qui est un polynôme régulier.
Soit alors
S = Sp- Tp + Sp_ - Tp +..
une somme de produits trinômes; les deux premiers termes Sp - Tp représentent la somme
des produits trinômes du degré le plus élevé, c'est ce que j'appellerai la tête de la
somme S.
J'ai distingué plus haut dans un produit trinôme trois parties que j'ai appelées le
monôme positif, le monôme négatif et le produit complémentaire. Je dirai qu'une somme
de produits trinômes forme une chaîne si le monôme négatif de chaque produit est
égal et de signe contraire au monôme positif du produit suivant. Le monôme positif
du premier produit et le monôme négatif du dernier seront alors les monômes extrêmes
de la chaîne.
Il résulte de cette définition que tous les monômes positifs d'une même chaîne ne
diffèrent que par l'ordre de leurs facteurs.
Une chaîne sera fermée si les deux monomes extrêmes sont égaux et de signe
contraire. Si Sp- Tp est une chaîne fermée de produits trinômes (Sp représentant la
some des produits binômes et -Tp celle des produits complémentaires), il est clair
que Sp est identiquement nul puisque les monômes positifs et négatifs se détruisent
deux à deux.
Nous avons vu que si S est une somme régulière, Sp est identiquement nul, d'où
il résulte que la tête d'une somme régulière S se compose toujours d'une ou plusieurs
chaînes fermées.
Si deux chaînes ont mêmes monômes extrêmes, leur différence est une chaîne fermée.
Nous nous servirons de cette remarque pour montrer qu'une chaîne fermée peut
toujours de plusieurs manières se décomposer en deux ou plusieurs chaînes fermées. Une
chaîne fermée quelconque peut de plusieurs manières être regardée comme la différence
de deux chaînes C et C' ayant mêmes monômes extrêmes; soit alors C" une troisième
chaîne ayant mêmes monômes extrêmes. La chaîne fermée C-C' se trouve ainsi
décomposée en deux autres chaînes fermées - C" et C" - C'.
Il s'agit de montrer que toute sonmme régulière est identiquement nulle et en effet
quand cela aura été démontré, il sera évident qu'un polynôme régulier dont tous les
coefficients ne seront pas nuls ne pourra être équivalente à zéro, puisque tout polynôme
régulier équivalent à zéro est par définition une somme régulière.
Supposons que le théorème ait été établi pour les sommes de degré 1, 2,..., p- 1;
je me propose de l'étendre aux sommes de degré p.
Je remarque d'abord que si une somme régulière de degré p est identiquement
nulle, il en sera de même de toutes les sommes régulières de degré p qui ont même
tête. La différence de ces deux sommes serait en effet une somme régulière de degré
p- 1 qui serait identiquement nulle d'après notre hypothèse.