Memoirs presented to the Cambridge philosophical society on the occasion of the jubilee of Sir George Gabriel Stokes, bart., Hon. LL. D., Hon. SC. D., Lucasian professor.

M. H. POINCARÉ, SUR LES GROUPES CONTINUS. 227
On voit immédiatement que Sp est équipollent à zéro; comme zéro est un polynôme
régulier, et que deux polynômes réguliers ne peuvent être équipollents sans être identiques,
il faut que Sp soit identiquement nul.
Soit en particulier p = 3,
S3= [XY - YX] Z- Z [X Y- YX],
le signe X signifie que l'on fait la somme du terme qui est explicitement exprimé sous
ce signe et des deux termes qu'on en peut déduire en permutant circulairement les trois
lettres X, Y, Z.
On aura:
T3= (XY) Z- z (XY),
puis
= [(X Y)Z- Z (XY)],
2 = [(XY) Z],
S= S3- T3+S2-T2= E [XY- YX-(XY)] Z-EZ[XY- YX-(XY)]
+ ` [(XY) Z- Z(XY) - ((XY) Z)].
Il est aisé de vérifier que S3 et S -T3 sont identiquement nuls, de sorte que S
se réduit à - T.
Or
T, = [(XY)Z] + [(YZ) X] + [(ZX) Y]
est un polynôme du ier degré, car [(XY)Z] comme (XY) lui-même est un polynôme
du 1er degré.
Or dans un polynôme du 1er degré, chaque terme ne contenant qu'un seul facteur,
on n'a pas à se préoccuper de l'ordre des facteurs. Tout polynôme du 1er degré est
donc un polynôme régulier. Si donc le polynôme T, n'est pas identiquement nul, la
somme S sera égale à un polynôme régulier qui ne sera pas identiquement nul.
Donc pour qu'un polynôme puisse être réduit d'une seule manière à un polynôme
régulier il faut qu'on ait les identités suivantes:
(3) [(XY) Z] + [(YZ) X] + [(ZX) Y] = 0.
On reconnaît là les identités de Jacobi qui jouent un si grand rôle dans la théorie
de Lie.
(Si d'ailleurs ces identités n'avaient pas lieu, les opérateurs élémentaires seraient
liés par les équations (3) qui ne seraient plus des identités; ils ne seraient plus
linéairement indépendants; on pourrait donc en réduire le nombre.)
Les identités (3) sont donc la condition nécessaire pour que la réduction d'un
polynôme à un polynôme régulier ne puisse se faire que d'une seule manière.
Il me reste à montrer que cette condition est suffisante.
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