Memoirs presented to the Cambridge philosophical society on the occasion of the jubilee of Sir George Gabriel Stokes, bart., Hon. LL. D., Hon. SC. D., Lucasian professor.

226 M. H. POINCARÉ, SUR LES GROUPES CONTINUS.
et ainsi de suite; on finira par arriver à un polynôme de degré zéro, de sorte que
nous pouvons écrire l'équivalence:
P1n = P'n + P'-i + 'Ln-2 +......*
dont le second membre est un polynôme régulier.
On a donc un moyen de réduire un polynôme quelconque à un polynôme régulier
en se servant des relations (1). Il reste à rechercher si cette réduction ne peut se
faire que d'une seule manière.
Le problème peut encore se présenter sous la forme suivante; un polynôme régulier
peut-il être équivalent à zéro? Ou bien encore peut-on trouver une somme de produits
trinômes de la forme
(2) P [X Y - YX - (XY)] Q,
qui soit un polynôme régulier non identiquement nul? Toutes les sommnes de pareils
produits sont en effet équivalentes à zéro.
Le degré d'un produit trinôme sera égal à 2 plus la somme des degrés des
polynômes P et Q. Si je considère ensuite une somme S de produits (2), ce que
j'appellerai le degré de cette somme S, ce sera le plus élevé des degrés des produits
qui y figurent, quand même les termes du degré le plus élevé de ces différents
produits se détruiraient mutuellement.
Le produit trinôme (2) peut être considéré comme la somme de deux produits, le
produit binôme
(2 bis) P[XY- YX]Q,
où je distinguerai le monôme positif PXYQ et le monome négatif - PYXQ; et le
produit
-P(XY)Q,
que j'appellerai le produit complémentaire.
Soit donc S une somme quelconque de produits trinômes de degré p ou de
degré inférieur; je pourrai écrire:
S= Sp- Tp + Sp_ - Tp_- +...... + S2 - T2,
où Sk est une somme de produits binômes de degré k.
(2 ter) P[XY- YX] Q,
tandis que - Tk est la somme des produits complémentaires correspondants:
-P (XY)Q.
Il s'agit de savoir si la somme S peut être un polynôme régulier sans être
identiquement nulle. J'observe d'abord que si S est un polynôme régulier, il doit en
être de même de S,; car Sp représente l'ensemble des termes de degré p dans S;
tandis que (S~_ - Tp), (Sp_- - Tp_),..., (S2 - T3), - T1 représentent respectivement
l'ensemble des termes de degré p - 1, p - 2,..., 2, 1.