Memoirs presented to the Cambridge philosophical society on the occasion of the jubilee of Sir George Gabriel Stokes, bart., Hon. LL. D., Hon. SC. D., Lucasian professor.

M. H. POINCARE, SUR LES GROUPES CONTINUS. 225
où (XY) est une combinaison linéaire des opérateurs élémentaires; nous reconnaissons
là la relation de Lie dite relation de structure:
XXk - XkXi = iks.Xs.
Cela posé, deux polynômes seront équivalents lorsqu'on pourra les réduire l'un à l'autre
en tenant compte des relations (1).
Par exemple le produit
(2) P[X T- YX - (X)] Q
(où le premier et le dernier facteurs P et Q sont deux monômes quelconques) est
équivalent à zero; et il en est de même des produits analogues et de leurs combinaisons linéaires. Les produits de la forme (2) sont ce que j'appellerai des produits
trinômrnes.
La différence de deux monômes qui ne diffèrent que par l'ordre de deux facteurs
consécutifs est équivalente à un polynôme de degré moindre.
Soient en effet X et Y ces deux facteurs consécutifs. Nos deux monômes s'écriront
PXYQ, PYXQ,
P et Q étant deux monômes quelconques, et leur différence
P[XY- YX]Q
sera équivalente à
P(XY) Q,
dont le degré est d'une unité plus petit, puisque (XY) est du 1er degré, XY-YX
du 2d degré.
Soient maintenant M et M' deux monômes équipollents quelconques, c'est-a-dire
ne différant que par l'ordre des termes. On pourra trouver une suite de monômes
M, Mi, M2,..., Ip, M',
dont le premier et le dernier sont les deux monômes donnés et qui seront tels que
chacun d'eux ne diffère du précédent que par l'ordre de deux facteurs consécutifs. La
différence M- M' qui est la somme des différences M- M1, M - M2,..., M- M' sera
donc encore équivalente à un polynôme de degré moindre.
Plus généralement, la différence de deux polynômes équipollents est équivalente à
un polynôme de degré moindre.
Je dis maintenant qu'un polynôme quelconque est toujours équivalent à un polynôme
régulier.
Soit en effet Pn un polynôme quelconque de degré n; il sera équipollent à un
polynôme régulier P',; on aura alors l'équivalence:
Pn = P'n + Pn- 1,
où Pn-_ est un polynôme de degré n - 1 qui sera à son tour équipollent à un polynôme
régulier P'n_,, d'où l'équivalence:
Pn-1 -= pn-1 J- Pn-2,
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