Memoirs presented to the Cambridge philosophical society on the occasion of the jubilee of Sir George Gabriel Stokes, bart., Hon. LL. D., Hon. SC. D., Lucasian professor.

M. H. POINCARE, SUR LES GROUPES CONTINUS. 223
On voit que les polynômes opérateurs ainsi définis obéissent à la fois à la loi
associative et à la loi distributive; de sorte qu'on aura:
(aX + bY) (cX + dY) = acX2 + adXY+ bcYX + bdY2,
et en particulier:
(X + Y)2S X + XY+ YX + Y2
expression qu'il ne faut pas confondre avec X2 + 2XY + Y2.
On peut aussi introduire des opérateurs qui seront représentés symboliquement par
des séries infinies. Je citerai par exemple l'opérateur:
f+a(X+ Y)(f)+ 2(X+ Y)2(f) + 3(X+ )3 (f )+......
que je représenterai symboliquement par:
- ca (X + Y)] (/)'
ou plus simplement par
1
1 - c (X + Y)'
et l'opérateur:
f + aX(f) )+ X3f(f )+ X(+......
que je représenterai par eax(f) ou simplement par eaX.
On peut se demander si l'emploi de ces opérateurs représentés par des séries est
légitime et si la convergence des opérations est assurée.
Il y a des cas où cette convergence est certaine. C'est ainsi que Lie a démontré que
etX (f)=f('1, x'2,..., x',,)
où les x' sont définis par les équations différentielles:
dxi
- = (Xi) (x,', x2,... *, I)
et par les conditions initiales:
x'i = xi pour t = O.
Les opérateurs définis par des séries symboliques obéissent évidemment aux lois
distributive et associative, ce qui permet par exemple d'écrire des égalités telles que
celle-ci:
(eYeaxeZ) (e-ZebxeT) = eYe(a+b)XeT.
Il y a aussi un cas où ils obéissent à la loi commutative. Soient
(X) = a.X, er (X) = ~bnX,
deux séries symboliques dépendant d'un seul opérateur élémentaire X.
On a alors
(x) [4 (X) (f)]= (x ) [(x (f)].
Les deux products symboliqus deux profits symboliques (X) (X) et (X) (X) sont en effet des sommes
de monômes dont tous les facteurs sont égaux à X. Si tous les facteurs sont