Memoirs presented to the Cambridge philosophical society on the occasion of the jubilee of Sir George Gabriel Stokes, bart., Hon. LL. D., Hon. SC. D., Lucasian professor.

222 M. H. POINCARÉ, SUR LES GROUPES CONTINUS.
Je ramène en effet la formation d'un groupe de structure donnée, à l'intégration
d'équations différentielles simples, intégration qui peut se faire en termes finis.
Ces équations sont moins simples que celles que Lie a formées pour les groupes
de la 1re famille; mais même dans ce cas, il peut y avoir intérêt à les connaître, car
elles sont d'une forme différente et me s'en déduisent pas immédiatement.
De plus elles sont applicables aux groupes de la 2e famille et dans ce cas elles
nous fournissent une solution du problème plus simple que celle de Lie.
II. DÉFINITION DES OPÉRATEURS.
Soit f une fonction quelconque de n variables xl, x2,..., xn.
Soit X un opérateur qui change f en
dx 2 dx2,ct'
où les (Xi) sont n fonctions données des n variables xl, x2,..., Xn, de sorte que:
df
X (f)= ((XA)
dxj
Soient Y, Z, etc. d'autres opérateurs analogues de telle façon que:
Y (f )= (Y) d (f= (Zi
dxj' clxi.
les (Yi), les (Zi),... étant d'autres fonctions de xl, x2,..., ox.
Dans ces conditions:
X2 (f) = X[X (/)], XY(f) = X [Y(f)], X2Y(f) =X[XY (f)], XYZ(f) = X [YZ(f)],...,
seront des combinaisons linéaires des dérivées partielles des divers ordres de la fonction
f, multipliées par des fonctions données des xi.
Ainsi se trouveront définis de nouveaux opérateurs X2, XY, X2Y, XYZ,..., qui
sont des combinaisons des opérateurs simples X, Y, Z,.... On voit que ces produits
symboliques obéissent à la loi associative mais n'obéissent pas en général à la loi
commutative de sorte que XY ne doit pas être confondu avec YX.
Ces opérateurs sont ainsi symboliquement représentés par des monômes; mais on
peut définir des opérateurs qui seront symboliquement représentés par des polynômes
tels que:
1+aX, aX+bY, aX25 + 2bXY+cY2,......
en convenant d'écrire par exemple:
(1 +aX)(f)=f+ aX (f); (aX+bY)(f)=aX(f)+ bY(f).............