Memoirs presented to the Cambridge philosophical society on the occasion of the jubilee of Sir George Gabriel Stokes, bart., Hon. LL. D., Hon. SC. D., Lucasian professor.

M. H. POINCARÉ, SUR LES GROUPES CONTINUS. 221
Ensuite d'après la définition même du symbole (XiXk) on a identiquement
(4) ((XXb) X,) + ((XbXc) X) + ((XcX) Xb) = 0,
d'où résultent entre les c certaines relations connues sous le nom d'identités de Jacobi.
Une condition nécessaire pour que l'on puisse former un groupe de structure donnée,
c'est donc que les coëfficients c satisfassent à ces identités de Jacobi auxquelles il
convient d'adjoindre les relations (3).
Le troisième théorème de Lie nous enseigne que cette condition est suffisante.
Pour la démonstration de ce théorème, nous devons distinguer deux familles de
groupes.
Les groupes de la 1ère famille sont ceux qui ne contiennent aucune substitution
permutable à toutes les substitutions du groupe.
Les groupes de la 2e famille sont ceux qui contiennent des substitutions permutables
à toutes les substitutions du groupe.
En ce qui concerne les groupes de la 1ère famille, la démonstration de Lie, fondée
sur la considération du groupe adjoint, ne laisse rien à désirer par sa simplicité.
En ce qui concerne les groupes de la 2e famille, Lie a donné une démonstration
entièrement différente, beaucoup moins simple, mais qui permet cependant de former les
opérateurs Xi(b) par l'intégration d'équations différentielles ordinaires.
Dans une note récemment insérée dans les Comptes-Rendus de l'Académie des
Sciences de Paris, j'ai donné une démonstration nouvelle du 3e théorème de Lie.
Les résultats contenus dans cette note étaient moins nouveaux que je ne le croyais
quand je l'ai publiée.
D'une part en effet, Schur avait dans les Berichte der k. sÉchsischen Gesellschaft
der Wissenschaften 1891 et dans le tome 41 des Mathematische Annalen donné du
théorème en question une démonstration entièrement différente de celle de Lie.
Cette démonstration présente la plus grande analogie avec celle que je propose;
mais elle n'a pour ainsi dire pas été poussée jusqu'au bout. Comme le fait remarquer
Engel, le résultat dépend de séries que Schur forme et dont il démontre la convergence;
au contraire Lie ramène le problème à l'intégration d'équations différentielles ordinaires.
Je suis arrivé comme Lie lui-même à des équations différentielles ordinaires qui
même sont susceptibles d'être complètement intégrées.
D'autre part Campbell a donné sous une autre forme quelques-unes des formules
auxiliaires qui m'ont servi de point de départ (Proceedings of the London Mathematical
Society, tome 28 page 381 et tome 29 page 612).
Il m'a semblé néanmoins que cette note contenait encore assez de résultats nouveaux
pour qu'il y eût quelque intérêt à la développer.