Memoirs presented to the Cambridge philosophical society on the occasion of the jubilee of Sir George Gabriel Stokes, bart., Hon. LL. D., Hon. SC. D., Lucasian professor.

IX. Sur les Groupes Continus. Par H. POINCARÉ.
[Received 25 September, 1899.]
I. INTRODUCTION.
LA théorie des groupes continus, ce titre immortel de gloire du regretté Sophus
Lie, repose sur trois théorèmes fondamentaux.
Le premier théorème de Lie nous apprend comment dans tout groupe continu il
y a des substitutions infinitésimales et comment ce groupe peut être formé à l'aide
des opérateurs
(/)= (Xi) df
dxi
Considérons r opérateurs de cette forme
(1) X (f X (f),......, X ();
et convenons de poser:
XiXk- XkXi = (XiXk).
D'après le second théorème de Lie si les symboles (XiXk) sont liés aux opérateurs
Xi par des relations linéaires de la forme:
(2) (XiXk)= =CiksXs,
où les c sont des constantes, les r opérateurs (1) donneront naissance à un groupe.
Les relations linéaires (2) pourront s'appeler relations de structure puisqu'elles
définissent la "structure" du groupe qui dépend uniquement des constantes c.
C'est le troisième théorème de Lie qui attirera surtout notre attention. Quelles
sont les conditions pour qu'on puisse former un groupe de structure donnée, c'est-àdire pour trouver r opérateurs X1, X,......, X. satisfaisant à des relations de la
forme (2) dont les coefficients c sont donnés?
On voit tout de suite que les coefficients c ne peuvent être choisis arbitrairement.
On doit d'abord avoir
(3) Ckis = - Ciks