Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 31. Bemerkungen und Aufgaben. 51
(I*) Ein Kurvenbogen mit der natürlichen Gleichung - = (s) > 0
und der ~,Gesamtkriimmung"
^ —do<~
schließt mit seiner Sehne in den Endpunkten dann und nur dann den
kleinsten Winkel ein, wenn er in einer Ebene liegt (1: = 0).
Als Verallgemeinerung von (II) folgt daraus:
(II*) Ein ebener Kurvenbogen begrenze mit seiner Sehne einen Eibereich. Bei jeder,Verwindung" dieses Kurvenbogens, das heißt bei
jeder räumlichen Formänderung, die die Bogenlängen und Krimmungen
erhält, wächst notwendig die Länge der Sehne. Vgl. A. Schur, Mathematische Annalen 83 (1921), S. 143-148; W. Blaschke, Abhandlungen
des Mathematischen Seminars Hamburg 1 (1921), S. 49-53. Dort
findet man auch den Beweis von ~ 28 vereinfacht.
5. Variation von Kurven mit fester Windung. Von den Punkten
einer Kurve mit fester Windung werden in den Schmiegebenen feste
unendlich kleine Strecken derart abgetragen, daß die Änderung der
Bogenlänge zwischen irgend zwei Punkten verschwindet. Dann hat
auch die variierte Kurve feste Windung10).
6. Die Isoperimetrie auf der Kugel nach F. Bernstein. Es sei
( eine Eilinie auf einer Einheitskugel t, eine geschlossene Kurve
also, die von jedem Großkreis von k in höchstens zwei Punkten geschnitten wird. Es sei F der Flächeninhalt des ~Inneren" von e,
d. h. des kleineren der von ( begrenzten zwei Oberflächenteile von e, und
L der Umfang von (E. Dann drückt sich die isoperimetrische Eigenschaft des Kreises in der sphärischen Geometrie so aus: Es ist für
jede Eilinie (
(66) (272- F)2 + L2 > (27E)2
und nur dann =, wenn E ein Kreis ist. Zum Beweis betrachte man
die äußere Parallelkurve (E im sphärischen Abstand e von E, die für
0 < e < - keinen Doppelpunkt hat. Man findet für ihren Inhalt F, und
ihre Länge L,
(2 n - Fe) = (2n - F) cos e - L sin E,
(67) L, =(2 - F) sin e + L cos e;
(2 - F)2 + L2 = (2 - Fe)2 + LE.
Somit genügt es, zu zeigen, daß für F, = 2 r die Beziehung L, 2z
besteht. Dazu braucht man nur nachzuweisen, daß jede geschlossene
und doppelpunktfreie sphärische Kurve, die die Kugelfläche hälftet,
mindestens zwei Gegenpunkte enthält. F. Bernstein, Mathematische
Annalen 60 (1905), S. 117-136.
10) Vgl. L. Bianchi, Memorie della societä italiana delle scienze (3) 18
(1913), S. 7-10.
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