Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 31. Bemerkungen und Aufgaben. 49
(vgl. Fig. 10) und bezeichnen den Bogen dieses Kreises zwischen dem
Gegenpunkt a' von a und b mit o". Dann ist
(63) d 2 cos.
Aus (62) und (63) folgt aber das behauptete Ergebnis
(64) s" > " oder =- s' + s" > r + o".
Der Kleinstwert n - a" wird wieder nur für die Kreisbogen
erreicht.
Die Sätze (II) und (III) lassen sich auch so zusammenfassen:
Es seien a und b zwei Punkte eines Einheitskreises und 2x, 2 [21 < i,]
seien die durch die beiden Punkte begrenzten Teilbogen des Kreises.
Die Bogenlängen 1 aller Kurven der festen Krümmung Eins, die a
und b verbinden, sind entweder 21, oder 2.
Ist die Entfernung d der Punkte a, b aber > 2, so kann die
Bogenlänge I jeden Wert > d annehmen. Es sei auch erwähnt, daß
zur Gültigkeit der Beweise ~~ 28-30 nur vorausgesetzt zu werden
braucht, daß die Tangentenbilder (el) streckbare8) (rektifizierbare)
sphärische Kurven sind. Die Kurven (S) brauchen also keineswegs
zweimal stetig differenzierbar zu sein. Die vorkommenden Integrale
sind dann im Sinne von Stieltjes8) zu verstehen.
~ 31. Bemerkungen und Aufgaben.
1. Über die Notwendigkeit von Existenzbeweisen in der Variationsrechnung. R. v. Mises hat die Aufgabe gestellt: Zwei gerichtete
Linienelemente in der Ebene sollen durch eine immer im gleichen Sinn
gekrümmte gerichtete Kurve der Ebene so verbunden werden, daß
die größte Krümmung der Kurve möglichst klein wird. Man zeige,
daß die Aufgabe keine Lösung hat. Dagegen wird die Aufgabe lösbar, wenn man die Gesamtkrümmung oder die Gesamtlänge der zulässigen Kurven einschränkt. W. Blaschke, Jahresbericht der deutschen
Mathematiker-Vereinigung 27 (1918), S. 234-236; R. v. Mises, ebenda
28 (1919), S. 92-102. Wegen der Existenzfragen vgl. man im folgenden ~~ 85, 99.
2. Variationsproblem von Ch. E. Delaunay. Die in den letzten
Paragraphen behandelten Gegenstände hängen mit folgendem Variationsproblem zusammen:
Zwei Punkte a und b sollen durch eine Kurve (S) der festen
Krimmung Eins verbunden werden, deren Richtung in a und b durch
die Einheitsvektoren a und ß gegeben sei, und deren Bogenlänge ein
Extrem ist.
8) Vgl. etwa mein Büchlein "Kreis und Kugel", Leipzig 1916.
B 1las c h k e, Differentialgeometrie. 4