Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

42 Extreme bei Kurven.
wo L den Umfang von ~ bedeutet. Das kann man etwa so einsehen. Setzt man auf jedes Bogenelement ds von ( ein unendlich
schmales Trapez auf, von dem zwei Seiten in die Normalen an ~
fallen und die Länge p haben, so hat dieses die Fläche
P (ds + pd)
und daher ist wirklich
Fr - F -= fp(ds + pdg) -= pL L+p2%.
Da das in p quadratische Polynom Fp für p 0 positiv und
für p - r 0= nach (43) < 0 ist, so sind die Wurzeln der Gleichung
Fp __ 0 in p sicher reell, also ist nach (44)
(45) L" - 4 nF 0,
was zu beweisen war.
Es bleibt nur noch der Einzigkeiisbeweis zu führen, das heißt
zu zeigen, daß in (45) das Gleichheitszeichen nur für den Kreis gilt.
Soll für das quadratische Polynom F'p die,Diskriminante"
L2 -4 4-F = 0 sein, so darf Fp sein Vorzeichen nicht wechseln. Da
Fp für p = 0 positiv ist, darf F üp für p= -r nicht < 0 sein. Somit
muß in (43) für p = - r das Integral verschwinden, also t: t*= r
= konst. sein. Ändert man eine Seite des Dreiecks T ab, so bleibt
für gewisse Richtungen (nämlich für solche Tangenten, deren Endpunkte auf einer anderen Dreieckseite liegen) das Verhältnis t: t* und
damit r ungeändert. Somit haben alle unserer Eilinie ( umschriebenen
Dreiecke denselben Inkreishalbmesser. Daraus folgt aber sofort, daß b
ein Kreis ist. Hält man nämlich zwei Tangenten fest, so bleibt der
Inkreis. fest, die dritte umhüllt also diesen Kreis.
Der Beweis in der vorgetragenen Form ist dann ohne weiteres
richtig, wenn die zur Auswahl zugelassenen Eilinien ( keine Ecken
und keine geradlinigen Strecken enthalten. Er läßt sich aber auch
leicht auf beliebige Eilinien ausdehnen5).
~ 27. Ein Beweis von A. Jfurwitz.
Wir werden später (~ 55) den isoperimetrischen Satz unter ziemlich allgemeinen Voraussetzungen über die zulässigen Vergleichskurven
anzuwenden haben. Wir wollen deshalb hier noch einen zweiten
rechnerischen Beweis andeuten, der sich einiger Sätze über trigonometrische Reihen bedient, und der die erstrebte Allgemeingültigkeit
hat. Es sei
x1==X1(s), X= X(s); 0~s L
eine stetige geschlossene Kurve, von der wir nur noch anzunehmen
brauchen, daß sie eine Bogenlänge s besitzt, d. h. daß sie,streckbar"
5) Eine noch anschaulichere Form hat H. Liebmann dem Beweis von
Frobenius gegeben, Mathem. Zeitschrift 4 (1919), S. 288-294.