Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 26. Beweis von Frobenius. 41
fahrene Einheitskreis; T ein Dreieck von Tangenten an E, dessen
Fläche ( enthält, Sp und i* die gleichsinnig parallelen Tangentendreiecke an (e. und E*. Ferner sei t die Länge der Strecke auf einer
Tangente an ( gemessen vom Berührungspunkt im positiven Sinn
der Tangente bis zum Austrittspunkt aus S; tp und t* die entsprechenden Strecken auf den gleichsinnig parallelen Tangenten; (p ihr Winkel
mit einer festen Richtung; D, Dp, D* die Flächeninhalte von 5', )p' S*
und F, Fv, F* die Flächeninhalte von (, (p, E*; endlich r der
Fig. 7.
Halbmesser des dem Dreieck 5 einbeschriebenen Kreises (vgl. die
Fig. 7). Dann ist
+
F — D f- f S t d-,7
(43) F= (t r)2D* - (t + pt*)2dy.
-,7'
Anderseits gilt für den Flächeninhalt der Parallelkurve
(44) Fp = F + L + p2F*,
die Gleichung der Tangenten an ( mit der Richtung z. Dann findet man für
den Krümmungshalbmesser e von (
e = h (T) + h" (T),
so daß sich die Konvexität von ( dadurch ausdrückt, daßf h (z) die Periode 2 r
hat und h+ h"> o ist. Dann gilt aber für eine Parallelkurve p
p = P + h + h",
und somit folgt aus 9 > o, p >o auch - = + e > o. Darin ist wegen der
Periodizität von p + h (r) die Konvexität von flp enthalten.