Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 25. Die Isoperimetrie des Kreises. 39
Aus (28) erhält man für x
(37) 1=
2 1+16 ~
4 4 a2
Die Tangenten der Böschungslinien schließen nach ~ 15 mit einer
festen Richtung e einen festen Winkel v ein, und zwar ist nach (36)
und nach ~ 15 (132)
(38) 4c = ctg r.
Für Bogenlänge und Krümmung des Normalrisses unserer Böschungslinie auf eine zu e senkrechte Ebene haben wir nach ~ 15 (139), (141)
s = s sin, x- sin2e.
Somit ergibt sich für diesen Normalriß die natürliche Gleichung
(39) =1 + 16 c2'
4 aS2 + sin -. 4 a2
Diese Kurven bezeichnet man als ~Kettenlinien".
~ 25. Die Isoperimetrie des Kreises.
Unter allen geschlossenen Kurven desselben Umfangs in der
Ebene soll die ermittelt werden, die den größten Flächeninhalt umschließt. Das ist die klassische "isoperimetrische" Aufgabe. Beim
Ubergang von einer geschlossenen zur benachbarten Kurve findet
man für die Änderung des Umfangs L wegen der Periodizität der
Verrückung v nach (12)
(40) L =- xvds.
Die Änderung des Flächeninhalts ist offenbar der Streifen, der von
den benachbarten Kurven begrenzt wird:
(41) öF - -vds,
vorausgesetzt, daß man über
das Vorzeichen von F geeig-, ->
nete Festsetzungen trifft. Soll < 6 —
nun die geschlossene Kurve, A-..
längs derer integriert wird, h h
unsere Aufgabe lösen, so muß
für jede Funktion v (s) mit - o.- — L _Vo ---~
der Periode L, für die öL = 0 Fig. 6.
ist, von selbst auch F -0
sein. Dafür ist x - konst. hinreichend.
Daß diese Bedingung auch notwendig ist, erkennt man etwa so.
Hätte die Funktion x (s), die wir als stetig annehmen wollen, auf
der Strecke 0 ~ s < L an zwei Stellen s1, s2 zwei verschiedene Werte