Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

38 Extreme bei Kurven.
wird. Daraus ergibt sich dann
/Q0) ^dz3 x (p- p
(30) / ^5Ids
Ferner ist
(31) (z) (dz)= 2 - (d)2
ds / ds - d
Nach (30) und (28) kann man dafür auch schreiben:
(d12 dz2 1 '2 ('2)
d ds ds a2zr ds 4 i
Aus
oder
dE d2
s ds s
folgt nach (29)
dxz d2x2 dxz d2xz c x
ds ds2 ds ds2 33 a, '9
Nach (32) folgt daraus
dx1 d2zx dx d2 x1
ds ds2 ds ds2 x
- + - 2 +- ac
( dz1 \\ (d z2'\2 ___-d~/\ __' 4
ds 1 ds d)s
und durch Integration
od\ x (dzxi) x ds
(33) arc gtg;: ds ac f,{ 2 (C2)2
Jetzt sind die Ableitungen von x, (s) und x2 (s) aus den Gleichungen (32)
und (33) zu ermitteln und daraus diese Funktionen selbst durch Integration.
Damit ist das Ergebnis von Radon gefunden:
Die Exlremalen der Variaiionsprobleme
(34) öf9(x)'ds==0
sind durch Quadraturen auffindbar.
Betrachten wir den besonderen Fall,
(35) p(x)==Vx,
so wird nach (26)
(36) o = 4 cx.
Das heißt nach ~ 15: die Extremalen sind Böschungslinien. Umgekehrt folgt aus (26), daß das Variationsproblem (35) unter denen
von der Gestalt (34) im wesentlichen das einzige ist, dessen Extremalen Böschungslinien sind.