Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 6. Formeln von Frenet.
und nach (63)
t '2 _ 2 1
3 -- " a 2 '
Wir entscheiden jetzt über das Vorzeichen von 1: z, wenn wir
a, 1-: r setzen und somit die Windung durch die Formel erklären:
(68)'
~ 6. Formeln von Frenet.
Wir hatten (65) e'- = d: g und (68) 3'= -:'. Wir wollen
noch die Ableitung e~ aus 1, o, 3 zusammensetzen. Wir finden
(69) = e3 X<
und daraus
2' = (CX 1)+ (3 X '),
(70) 2/ t 2 X e1_ + e3 X $2
( - -+ -
e T
Die damit aufgestellten Beziehungen
ds *
(71) d s_ * +T
d 3 _ * -*
ds
stammen von F. Frenet (Toulouse 1847) und bilden die Grundlage der
ganzen elementaren Differentialgeometrie der räumlichen Kurven, auf
die sich alles zurückführen läßt.
Aus der ersten Formel können wir sofort die Kurven bestimmen,
für die die Krümmung 1: e identisch verschwindet. Man findet durch
zwei Integrationen
d = 0 ds = = konst.,
ds ds
(72) =,S + o
also die Geraden.
Aus dem Verschwinden der Windung folgt
(73)
ds O7ad konst.
Da ferner
d.
ds