Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 115. Bemerkungen und Aufgaben. 223
18. Formänderung von Minimalflächen. Man unterwerfe ein isotropes Strahlensystem einer Transformation (203) oder (206), wie
ändert sich dann die zugehörige Minimalfläche?
19. Ein Satz von R. Rothe. Es sei ak(x1, x2, X3) ein Vektorfeld.
Unter seiner "Rotation" versteht man den Vektor
(a, a2
(207) rot a xa1 axa
aa2 1ax
1 axi ax2
Wenn a2 1 ist, so ist die notwendige und hinreichende Bedingung
für die Geradlinigkeit der Kraftlinien des Feldes
(208) a X rot a = -0.
R. Rothe, Jahresbericht der D. Mathem. Ver. 21 (1912), S. 256. Weitere
Literatur bei H. Rothe, Enzyklopädie III A B 11, S. 1363 u. ff.
20. Integralinvarianten der Liniengeometrie. Neben den in ~ 107
betrachteten beiden Doppelintegralen kann man auch Bewegungsinvarianten drei- und vierfacher Integrale betrachten. Um die einfach
schreiben zu können, wollen wir unsere Linienkoordinaten ak ak durch
vier unabhängige Veränderliche Tp, qp; O, 0 ausdrücken:
a = cos 2 cos 9, a - cos sin i' p -- sin e cos f9. t,
(209) ac — cosv~sinp, a; -+ coscosg. -- sinsinpsin.,
a3 sin, a3 — + cos.t.
Dann ist das über eine von drei Parametern abhängige Gesamtheit
von Geraden erstreckte dreifache Integral
(210) fSf{sin d Ad cp fVcos2 #.d p2 + d2}
und ebenso das vierfache Integral
(211) fRfsin. de df fJ f cos. * d1d1}.
bewegungsinvariant. Erstreckt man das dreifache Integral über alle
(gerichteten) Geraden, die ein Kurvenstück schneiden, so ist der Wert
des Integrals gleich ~ ><X Länge des Kurvenstücks. Erstreckt man
das vierfache Integral über alle Geraden, die ein Flächenstück treffen,
so ergibt sich, wenn man die Vielfachheit der Schnittpunkte berücksichtigt, als Integralwert 2 X Oberfläche des Flächenstücks. Das
vierfache Integral hat in etwas anderer Schreibweise schon E. Cartan
betrachtet, Bulletin societe mathematique France 24 (1896), S. 140-177.
Man vgl. auch die Aufgaben 18 in ~ 21 und 14 in ~ 88 und die
dort angegebene Literatur.