Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

111. Beziehungen der isotropen Strahlensysteme zu den Minimalflächen. 211
Errichten wir jetzt auf jedem Systemstrahl 9S im Mittelpunkt m
die senkrechte Ebene und bestimmen wir die Hüllfläche dieser Ebenen!
Es gelten für den Berührungspunkt X nach (141), (142) die Gleichungen
( - m) = 0,
(148) ( m- m) ac = a = - -,
(- mn)a = ma a = + u
und daraus ergibt sich für den Berührungspunkt
(149) n - at + av
Untersuchen wir jetzt die Brennflächen! Nach (122), (128) beschreibt
der Punkt
5 = m + ipu a
eine dieser Brennflächen, deren Tangentenebene durch 9f geht, also
in laufenden t die Gleichung
(t-m, a, (m + iua)u) =0
oder
(n - m, a, (m + i u a)v) - O
besitzt. Beides gibt nach (141), (142) wegen a X (av + i a) - at +- i a,
(150) (m) - ia) = 0.
Da (a, -i av )2 0 ist, ist demnach diese Ebene isotrop und somit
die Brennfläche eine isotrope Torse, also im allgemeinen die Tangentenfläche einer isotropen Kurve. Um den Berührungspunkt t) mit
der umhüllten Kurve zu ermitteln, brauchen wir nur die Gleichung
(150) bei festem t) zweimal nach u oder v abzuleiten und finden unter
Beachtung der Gleichung (150) selbst mittels (136), (141), (142)
(151) (t- m) a = i u,
(15s2) ( -'m) u i (t + iY).
Aus (150) und (152) folgt
(153) ( -m)a, =/ + iv
und aus (150) bis (153)
(154) t m + iua + i ( b(au - ia).
Der konjugiert imaginäre Brennpunkt m- i, a beschreibt die konjugiert imaginäre Torse und wir erhalten den konjugiert. imaginären
Berührungspunkt mit dem Hüllgebilde
(155) ^ _= - i a "- i - (alZ + i av)
Vergleicht man nun die Formeln (154), (155) und (149), so ergibt sich
(156) 2 = q-.
Da nun t und 5, wenn sie nicht beide fest sind, isotrope Kurven
durchlaufen, so beschreibt nach (156) S im allgemeinen eine Minimalfläche (~ 90 (7)).
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