Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

210 Liniengeometrie.
wenn wir beachten, daß wegen a =- 0 durch Ableitung av + at a = 0
ist. Entsprechend findet sich
m a == O,1 muav = 2/
und somit ist
(141) mi~ — - v a +/Yav.
Ebenso erhalten wir
(142) mv= + a - u a-.
Es ist
(143) (an mu ) =2,u
für i + 0 und u 4= 0 beschreibt also der Mittelpunkt it eine Fläche.
Diese Mittenfläche steht nach Ribaucour in einer merkwürdigen Beziehung zur Kugel a = 1. Es ist nämlich
(144) ^(adu + a dv)(mdu- + mdv)
(= (adu + adv){(-,va + uav)du + (+ Ct - a au)dv} - 0,
d. h.: Entsprechende Linienelemente der Kugel a (u, v) und der Mittenfläche m (u, v) stehen aufeinander senkrecht.
Umgekehrt können wir zeigen: Entspricht eine Fläche m (u, v)
der Einheitskugel a (u, v) unter Orthogonalität zugeordneter Linienelemente, so bilden die Strahlen durch m iit der Richtung a eine isotrope Kongruenz.
Wir wollen die Kugel a (u, v) auf ein isothermes Parametersystem
beziehen, so daß
(145) da2 = 2i (du2 + dv2)
wird und die Bedingungen (136) gelten. Dann folgt aus der Voraussetzung
(146) ( du+ avdv) (m du + nmdv) = 0,
daß sich mi, mit in der Form darstellen lassen
(147) m= ata+ a
mv- = a - /a.
Unter Berücksichtigung von (136) ergibt dann die Integrabilitätsbedingung mnv = myz das Gleichungssystem
a = - u MV = + ilU
uat 6 +-v v - 2 22 u.
Setzen wir jetzt
a a, a - mX a,
so bekommen wir für das Strahlensystem dieser Geraden 9f das
duale Bogenelement
e (1 + 2 Eu) (du2 + dva).
Darin ist die Bestätigung unsrer Behauptung enthalten, daß dieses
Strahlensystem isotrop ist.