Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

208 Liniengeometrie.
Legen wir für das sphärische Bild a(u, v) isotherme Parameter
(vgl. ~ 71) zugrunde:
(127) daa2 - 2 (du2 + dr2),
so können wir nach (76) setzen
(127)2 d2 A2 (d 2 + dv2), A = (1 +e);
1 e-22, f=0, g 22u;
e = 22, f- O, g.2;
te =- 222,u, f= O, g = 22o`/,l.
(128)(cc) 2,
(a al a,) = l,
1 k k= 2, h = y/.
Setzen wir ferner
w = -+ iv,
so wird
(129) = S ((ze(w)+ (w)),
wo ca und o analytische Vektorfunktionen der komplexen Veränderlichen w sind und 9R den von der imaginären Einheit i freien Bestandteil hervorhebt. Für den Kehlpunkt einer Systemfläche erhält
man jetzt nach (48)
(130) g- {c X + (,:) },
da (du +- idv)2 sich weghebt. Daraus folgt: Alle Systemfäichen eines
isotropen Strahlensystems durch denselben Systemstrahl haben dort denselben Kehlpunkt.
Einfacher kommt man zu dieser Erkenntnis mittels der Formel
(126) von Hamilton. Für ein isotropes Strahlensystem ist nämlich
d =_ d2 und daher r =0. Umgekehrt ist die gefundene Eigenschaft
für die isotropen Strahlensysteme kennzeichnend. Denn aus (126)
folgt, daß r nur für d = d2 unabhängig von c: sein kann; und
dann ist nach der Formel (125) von Mannheim auch d unabhängig
von a, also das Strahlensystem tatsächlich isotrop.
Stellen wir unter Verwendung des Bogenelements (127), für die
isotropen Strahlensysteme die Hauptformeln zusammen! Es ist das
Krümmungsmaß
(131) lo+ g A
Beachtet man, daß
(132) logA==log + eu,
so folgt durch Abtrennung des Realteils
(133) -(- - + 2)log-1 1,
(1 (12 + )=
(134) + 2
3,"jau a v C ' U