Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 104. Geradlinige Flächen. 197
und schließlich für den Drall der Fläche 23 (t)
(52)3 d3 - a -qa3 q '
Daraus folgt, daß die Verhältnisse
P:q:: q
Differentialinvarianten der Fläche f (1) sind.
Für die "duale Länge" der sphärischen Kurve l (t) erhalten wir
nach (43), (44)
(53) f /i'dt f P dt S (p + ep)dt
und für die duale Länge von 23 (t)
(54) f il dt -f Qdt f (q + q)dt.
Dabei blieb ein Vorzeichen willkürlich. Somit sind die Integrale
fpdt, fpdt, fqdt, fqdt
Integralinvarianten unsrer geradlinigen Fläche 1f (t).
== 0 kennzeichnet die Zylinder 1 (t). Ist p= 0, ohne daß
p 0 ist, so hat 9 (t) den Drall Null, also ist 2 (t) auf jeden Fall
eine Torse, wenn p = 0 ist. Aus q = 0 folgt nach (45) a3' 0 O oder
a3 = konst. Wegen a a3 = 0 bedeutet also q = 0, daß die Erzeugenden von 1 (t) einer Ebene ("Richtebene") parallel sind. Es bleibt
noch der Fall q 0 zu untersuchen.
Im allgemeinen, d. h. für + =O, q + 0 entsprechen sich die
Flächen 21 (t) und %3 (t) gegenseitig, d. h. jede besteht aus den
kürzesten Abständen der Nachbarerzeugenden der anderen. Daß nämlich X3 das Lot von 91 und 9f - d9l ist, drückt sich so aus [vgl. (43)]:
(55), - = > fp
und die umgekehrte Beziehung durch
(55),2 1 = -
Beide Ausdrücke haben dabei einen guten Sinn, da die Realteile p, q
der Nenner nicht verschwinden. Soll nun q = 0 sein, so hat 9 3(t)
nach (52)3 verschwindenden Drall, ist also eine Torse. 92 (t) besteht
aus den gemeinsamen Loten benachbarter Erzeugenden der Torse,
also aus den Binormalen der von der Torse im allgemeinen umhüllten Raumkurve. q 0 bedeutet also, daß 9f1 (t) in der Regel aus
den Binormalen einer Kurve besteht.
In dem Sonderfall =- 0 steckt in unsrer Theorie der geradlinigen Flächen die Theorie der Raumkurven und gleichzeitig die der
Kegel. Im ersten Fall ergeben sich für Krümmung und Windung leicht
die Werte
(56) 1
e / q q