Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

174 Extreme bei Flächen.
vom Integrationsweg unabhängig 1). Wir wollen dieses Integral auf
eine andre Form bringen, indem wir die Parameterdarstellung (12)
der Minimalfläche zugrunde legen. Wir setzen also
=i - 2dK = t'dp + 'dq
und finden nach der Rechenregel ~ 3 (43) oder
(24) (p x q)x = (P)q - (qr)
das Ergebnis
(25) 2 xd= - i(d - d3).
Aus den Gleichungen
dt - da = 2ds
du - d - + — 2i Xd5
folgen die 1874 von H. A. Schwarz1'2) gefundenen Formeln
/^9 ~ ~ d = d + d+fl(Xd&),
(26), d = dt - i(exdX)
oder
(26)
Hierin ist in übersichtlichster Art die Lösung einer 1844 durch
den Professor an der Universität in Upsala E. G. Björling behandelten
Aufgabe enthalten: Alle Minimalflächen durch einen vorgeschriebenen
~Streifen" zu ermitteln. D. h. die Minimalfläche soll so bestimmt
werden, daß sie durch eine vorgegebene (offene) Kurve hindurchgeht
und in den Punkten der Kurve gegebene Tangentenebenen besitzt.
Die Kurve sei ^(t), die Tangentenebene werde durch den Vektor e(t)
der Flächennormalen bestimmt (2= 1, e' = O). Dann kann man
die Integrale (26) längs der Kurve K(t) erstrecken. Man findet so
die isotropen Kurven p(t) und 5(t), durch die die gesuchte Minimalfläche durch den Streifen eindeutig bestimmt ist. Eine Ausnahme
könnte nur dann eintreten, wenn längs ((t) entweder
x' -ieX: '==0 oder ' + i x '=0
wäre. Da der Vektor X > ' auf J' senkrecht steht, kann er nur dann
die Richtung r' haben, wenn die Kurve S(t) isotrop ist (S'2 = 0).
Somit ergibt sich:
Durch einen Streifen (dessen Kurve nicht isotrop ist, also insbesondere durch jeden reellen Streifen) geht eine und nur eine Minimalfläche hindurch, die durch die Formeln von Schwarz (26) bestimmt ist.
11) Es ist das ein Sonderfall eines Satzes von Fräulein E. Noether über
invariante Variationsprobleme, Göttinger Nachrichten 1918,' S. 235-257.
12) H. A. Schwarz, Mathematische Abhandlungen I, S. 179, S. 181.