Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

166 Extreme bei Flächen.
Parameterlinien ein3), so haben wir E -0, F == 0, G - 0 und für
die mittlere Krümmung nach ~ 35
M
(5) H=T.
Aus H = 0 folgt also M 0 oder d zv 0 in der Bezeichnung von
~ 33 (18). Aus
E - 02, G v =
ergibt sich aber durch Ableitung nach v und u, daß gr v -=0,,vv = -0. Somit genügt der Vektor Luv gleichzeitig den Bedingungen
(6) &it=uO, = X=O, = -Uv=O.
Da a,:v ~ linear unabhängig sind, folgt hieraus das identische Verschwinden von rv. Wir haben somit
(7) 2 =- (u) + a (v),
wobei der Faktor 2 ganz unwesentlich ist, und wegen E= G 0
(8) t2= 0, ^ — 0
Umgekehrt folgt aus dem Bestehen der Gleichungen (6) und (7) für
die Fläche (S) rückwärts H =0.
Wenn wir daher eine Ausdrucksweise von ~ 45 hier wieder verwerten, so haben wir gefunden: Die Minimalflächen sind Schiebfiächen,
deren Erzeugende isotrope Kurven sind.
Somit kommt die Integration der Differentialgleichung H 0
zurück auf die Bestimmung der isotropen Kurven, die uns in ~ 19
schon gelungen ist. Die vorgetragene Deutung der Formeln von
G. Monge für Minimalflächen4) rührt von S. Lie (1877) ) her.
~ 91. Formeln von Weierstraß für Minimalflächen.
Wenn man beachtet, daß auf einer reellen Minimalfläche die
isotropen Linien paarweise konjugiert imaginär sind, und wenn man
in (7) für t die Parameterdarstellung von ~ 20 einführt, so erhält
man für reelle analytische Minimalflächen die integrallose Darstellung
(9) X.. = (f —tf' 2 f"
x3 - i f' - If").
x = — - i(f- tf").
3) Hier wird der Fall übergangen, daf es bloß eine solche Kurvenschar
gibt, was nur bei imaginären Torsen möglich ist, deren Erzeugende isotrope
Geraden sind.
4) Vgl. etwa G. Monges,,Application..." von 1850, ~ XX, S. 211-222.
Die ersten Versuche Monges über Minimalflächen gehen bis auf 1784 zurück.
5) S. Lie, Beiträge zur Theorie der Minimalflächen. Mathem. Annalen 14
(1879), S. 331.