Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 85. Das Vorhandensein kürzester Wege auf Eiflächen. 153
von t( aus dem Kreise {a, R}, so daß [aaCl]-R wird. Ebenso a1
mit dem ersten Austrittspunkt ac von ~( aus dem Kreise {ax, R}.
Dieses Verfahren setzen wir so lange fort, bis wir zu einem Punkt an
von ß( kommen, für den [a',b] ~ R ist. Diesen Punkt an erreichen
wir in endlich vielen, nämlich in n < S: R Schritten, denn jeder Bogen
akak ist länger (~)[ak_ ak] =R, also ist S > nR, wie behauptet
wurde. ak verbinden wir mit b durch den von b ausgehenden geodätischen Radius. Damit ist unsere Gelenkkette vollendet. Für ihre
Länge L gilt
(74) s > L =nR +[a].
Da die Länge S der ursprünglichen Kurve ( jedenfalls > der
Länge L der einbeschriebenen Kette ist, so brauchen wir nur zu
zeigen, daß es unter den Längen dieser a und b verbindenden Ketten
mit der Gliedlänge R, deren Gliederzahl höchstens n ist, eine- kürzeste
gibt. Das ist aber verhältnismäßig leicht einzusehen.
Es sei L, die untere Grenze der Längen aller ~zulässigen" Ketten,
wie wir kurz sagen wollen. Wir können jedenfalls aus der Menge
dieser zulässigen Ketten eine Folge herausgreifen, so daß für die zugehörigen Bogen die Beziehung besteht
-> L, für v ->oo.
Die zugehörigen Gelenke act haben jedenfalls einen Häufungspunkt
auf ~, dda' beschränkt ist. Wir können daher aus der Folge unserer
Ketten eine Teilfolge so aussondern, daß, wenn wir die alte Bezeichnung beibehalten, die Beziehung besteht
a -> a~O für r -> oo.
Daraus sondern wir eine neue Folge aus, so daß auch die Punktfolge
der a2v/ konvergiert:
usf. Dann haben wir
au -> a~ für k = 1, 2,..., m n,
wenn m die letzte Fußmarke ist, für die der zugehörige Häufungspunkt nicht innerhalb {b, R} fällt.
Es wird behauptet: Die so gefundene Kette a, a ~ ao0..., a6,
ist zulässig und hat die Länge L0. Dazu ist zu zeigen
(75) [- a0]= R
und
(76) [%0 ] --- lim [tn hi.
Da beide Nachweise gleich verlaufen, genügt es, etwa den ersten zu
führen. Wegen der Konvergenz
lim [a_1` aO-1 0, lim [a; a~] 0
V->00 P->m>