Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

150 Fragen der Flächentheorie im Großen.
und demnach wegen w (s - {- A)= - w (s)
s, - s =- A - konst.
Somit gilt für die Entfernung S benachbarter Nullstellen von v jedenfalls S < nA.
Damit ist die Behauptung bestätigt. Der französische Mathematiker Sturm (1803-1855), von dem der hier benutzte Satz und
verwandte Sätze aus der Algebra herrühren, soll der eigenen Wertschätzung dieser schönen ~,Sturmschen Sätze" in seinen Vorlesungen
dadurch Ausdruck verliehen haben, daß er von den Theoremen sprach,
~deren Namen zu tragen ich die Ehre habe".
Mittels der eben vorgetragenen Schlußweise zeigt man auch leicht:
Zwischen zwei aufeinanderfolgenden Nullstellen einer Lösung der Diferentialgleichung v" + Kv = —0 liegt immer genau eine Nullstelle jeder
davon linear unabhängigen Lösung derselben Gleichung.
Bonnet hat seinen Satz und im wesentlichen auch den hier mitgeteilten Beweis 1855 veröffentlicht30).
An den von Minding aufgestellten, spindelförmigen Drehflächen
konstanter Krümmung kann man leicht feststellen, daß die Ungleichheit Bonnets die wahre Schranke liefert, d. h. daß D dem Wert:nA
beliebig nahe rücken kann.
Die ganze vorgetragene Beweisart hat noch einen Haken. Es
wurde nämlich als ~selbstverständlich" hingestellt, daß es zwischen
zwei Punkten einer Eifläche wirklich stets einen allerkürzesten Weg
gibt, der einer geodätischen Linie angehört. Auf diese Schwierigkeit
kommen wir im nächsten Abschnitt zurück. Einen Beweis, der die
Existenzfrage umgeht und auch weitergehende Ergebnisse liefert, hat
der Verfasser 1916 erbracht31l)
~ 8,5. Das Vorhandensein kürzester Wege auf Eiflächen.
Es ist im vorhergehenden die Frage aufgetaucht: Gibt es
zwei Punkten a und b einer Eifläche r immer einen kürzesten Weg
zwischen auf i? Wenn ja, ist dann dieser kürzeste Weg geodätisch?
Für diese vom Standpunkt des Physikers ziemlich selbstverständliche Tatsache soll hier ein Beweis erbracht werden unter der Voraussetzung, daß die Eifläche beschränkt und durchweg regulär umd analytisch sein soll..Bezeichnen wir den größten Wert des Krümmungsmaßes K auf i- mit 1: B2, so folgt aus K 1': B2 nach dem Sturmschen
Satz von ~ 84 für die geodätische Entfernung S zweier konjugierter
Punkte
(72) S > B
30) 0. Bonnet, Comptes rendus, Paris 40 (1855), S. 1311-1313.
31) Man vgl. etwa W. Blaschke, Kreis und Kugel, Leipzig 1916, S. 119.