Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

]30 Fragen der Flächentheorie im Grofien.
ein beliebig kleines Loch, so wird die übrig bleibende Fläche verbiegbar 4).
~ 76. Die Kugeln als einzige Eiflächen mit fester mittlerer
Krümmung.
Ein ganz ähnlicher Satz wie der im vorigen Abschnit gilt
auch für den Fall, daß an Stelle des Krümmungsmaßes die mittlere
Krümmung
1 1
2H= ~R
Ri, R
längs der Fläche fest sein soll, wie ebenfalls H. Liebmann gefunden hat 5).
Eine geschlossene konvexe Fläche, die wir als durchweg regulär
und analytisch, ferner als überall positiv gekrümmt (K > 0) annehmen
wollen, soll kurz eine "Eifläahe" heißen. Dann lautet der zu beweisende Satz:
Dis einzigen Eiflächen mit fester mittlerer Krümmung sind die
Kugeln.
Man kann diese Behauptung durch einen von 0. Bonnet 1867
angegebenen Kunstgriff auf die Überlegungen des ~ 75 zurückführen,
wenn man bemerkt: Unter den Parallelflächen einer Fläche festen
positiven Krimmungsmaßes gibt es einz3 nit fester mittlerer Krümmung
und umgekehrt.
Es sei nämlich ((u, v) eine Fläche mit K 1, s der Einheitsvektor ihrer Flächennormalen. Dann hat die Parallelfläche
(10) _ = --
die mittlere Krümmung 2 H = 1. In der Tat! Für die Krümmungslinien von (S) gilt nach 0. Rodrigues
d + Rd = 0,
oder
d- + (R + 1)d O = 0.
Den Krümmungslinien auf (S) entsprechen wegen ~: wieder
Krümmungslinien auf ( F). Für entsprechende Hauptkrümmungshalbmesser gilt
(11) R=R+ 1.
Somit ist wegen
R1 Re -1
(12) 2 H==- + 1 + 1
vR1 R 1
Ebenso verläuft die umgekehrte Schlußweise.
4) H. Liebmann, Die Verbiegung von geschlossenen und offenen Flächen
positiver Krümmung, Münchener Berichte 1919, S. 267-291.
5) H. Liebmann, Über die Verbiegung der geschlossenen Flächen positiver
Krümmung. Math. Annalen 53 (1900), S. 81-112; bes. ~ 6. S. 107.