Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 74. Aufgaben und Lehrsätze. 125
so sind die geodätischen Linien durch die Gleichung gegeben
(174) f 7-a f dv — b,
/JI (u) -a / i(v) - a
in der a, b Konstante bedeuten. (Ebenda S. 577-582.) Es ist zu
zeigen: Die Drehflächen und die F, gehören zu den Flächen Liouvilles.
8. Die geodätischen Linien als Charakteristiken. Die geodätischen Linien einer Fläche sind die Charakteristiken der partiellen
Differentialgleichung V (p 1. Kennt man eine Schar von Lösungen
f (pu, v, c), so genügen die geodätischen Linien der Gleichung
(175) ü = konst.
ac
9. Mechanische Verwirklichung geodätischer Linien. Eine Stahllamelle mit rechteckigem Querschnitt, die, in die Ebene ausgebreitet,
geradlinig ist, ergibt, wenn man sie mit ihrer Breitseite längs einer
krummen Fläche anlegt, eine geodätische Linie dieser Fläche. ~Hochkant" gestellt ergibt sie hingegen eine Asymptotenlinie der Fläche.
S. Finsterwalder, Mechanische Beziehungen bei der Flächendeformation,
Jahresbericht d. Dtsch. Math. Vereinigung. 6. 1899, S. 45-90.
10. Ein Satz von Gaulß über kleine geodätische Dreiecke. Es
seien ci die Innenwinkel, ai die gegenüberliegenden Seiten, Ki die
Krümmungsmaße in den Ecken, F der Flächeninhalt eines kleinen
geodätischen Dreiecks. Dann ist der Quotient
c- {Ki + K fK fK,}
(176).sin
sin ai
nahezu unabhängig von i (= 1, 2, 3). Gauß, Disquisitiones..,
Werke IV, S. 257; den Sonderfall Ki = K hat Legendre angegeben.
11. Geodätische Kegelschnitte auf einer Fläche. Die Kurven
auf einer Fläche, die die Eigenschaft haben, daß die Summe oder
Differenz der geodätischen Entfernungen ihrer Punkte von zwei festen
Kurven konstant ist, bilden ein Orthogonalsystem, das die konfokalen
Kegelschnitte als Sonderfall enthält. Das Bogenelement in bezug auf
dieses Orthogonalsystem kann auf die Form gebracht werden
(177) ds' du2 + dv2
sin2 -) cos -
Solche,Kegelschnitte" können nur dann ein Isothermensystem bilden,
wenn das Linienelement sich auf die Form von Liouville (Aufg. 7)
bringen läßt. U. Dini, Annali di matematica 3, 1869, S. 269.
12. Ein Satz von G. Darboux über geodätische Kegelschnitte.
Läßt sich ein Orthogonalsystem auf zwei verschiedene Arten als