Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 71. Isotherme Parameter. 119
Anders bei der zweiten! Die rechte Seite hat, wenn man als Richtung i == 0 die Richtung stärksten Anstiegs von K nimmt, die Form
(147) (- Maximm cos 9 = C cos p.
- / \ö~ro ar Maximum cDie allgemeine Lösung der Differentialgleichung
d" - d =- cos fp
ist
(148) d -- p sin g -- A cos g + B sin (q,
wo A, B beliebige Konstante bedeuten.
Verlangen wir nun, daß sich die Krümmungskreise (143) alle
schließen, so müssen die b, c, d,... die Periode 2 n (oder 2 n n)
haben. Das ist bei d nur möglich, wenn C- 0 ist. Dann haben wir
(149) (a -0
Also hat K im Ursprung r -0 einen stationären Wert. Da diese
Stelle keine ausgezeichnete — Rolle auf der Fläche spielt, sondern beliebig gewählt werden kann, so muß K konstant sein, wie zu Anfang
behauptet wurde.
Daß die Bedingung K-konst. für die Geschlossenheit nicht
völlig hinreicht, kann man aus ~ 62 entnehmen'l).
~ 71. Isotherme Parameter.
Es liegt die Frage nahe, ob man jedes Bogenelement
ds2 =Edz + 2Fdu dv+ Gdv2
durch Einführung neuer Parameter p, q auf die sogenannte,isotherme" Form
(150) ds2 = i (, q). (d2 + dq2)
bringen kann. In diesem Fall nimmt der zweite Differentiator (121)
die besonders einfache Form an:
(151) -A pp + 1^qq
sodaß also
(152) A - q = 0
ist. Die isothermen Parameter p (u, v), q (u, v) genügen also beide
18) Die Entwicklungen dieses Abschnitts sind einer vom Verfasser veranlafiten Arbeit von B. Baule entnommen, auf die später. noch zurückgekommen
werden soll: Über Kreise und Kugeln im Riemannschen Raum I, Math. Annalen
83 (1921), S. 286-310.