Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

~ 70. Flächen, deren geodätische Krümmungskreise geschlossen sind. 117
angegebene Ausdruck
(136) 1 A -v _ ( V
Diese invariante Formel gilt für beliebige Koordinaten u, v. Ausführlich lautet die Formel, wie 0. Bonnet 1860 gefunden hat,
( ) e ( TW{ (V Ev-2 Fu 9f + GQU2 )u v Eq72 - 2 F qu v + G 782 V
Ist die Flächenkurve in der Form
==u (t), V = (t)
vorgelegt, so erhält man für die geodätische Krümmung
1 1 /r
(138) g W (E '2+2F u'v'+Gv' 2)12
worin r die Bedeutung hat:
r - W' (u" - v'u")
(139) + (Eu' + F v') [(F, - 1 Ev) u' + Gu'v' + - Gvv'2]
- (Fu' + Gv') [i E2ut' + E^^u'' + (Fv - G) v'].
Diese Formel findet sich bei Beltrami (Werke I, S. 178). Sie hat
vor der vorhergehenden den Vorteil, daß keine weitere Verabredung
wegen des Vorzeichens nötig ist.
~ 70. Flächen, deren geodätische Krümmungskreise
geschlossen sind.
Mittels der eben abgeleiteten Formel für die geodätische Krümmung soll jetzt eine Behauptung von G. Darboux16) bestätigt werden.
Dafür, daß auf einer Fläche alle Kurven mit fester geodätischer
Kriimmung geschlossen sind, ist notwendig, daß die Fläche festes
Kriimmungsma/ß besitzt 17).
Gehen wir von geodätischen Polarkoordinaten aus (~ 57), und
setzen wir das Linienelement in der Form an
(31) ds2 dr~ + G (r, qp) dq2,
dann ist das Krümmungsmaß
(41) K(r, - - ) v -G.
16) G. Darboux, Theorie des surfaces, III. 1894, S. 151.
17) Die Bedingung reicht aber durchaus nicht hin. Trägt man z. B. auf
den Tangenten einer Schraubenlinie gleiche Längen ab, so bilden die Endpunkte auf der Tangentenfläche einen offenen Krümmungskreis.