Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

98 Geometrie auf einer Fläche.
Es ist also damit wirklich gezeigt, daß
(40) = - K,
ist, daß also a im wesentlichen mit dem Krümmungsmaß der Fläche
im Ursprung zusammenfällt. Damit ist der Gaußische Satz neu bewiesen.
Viel einfacher bekommt man natürlich den Zusammenhang'zwischen K und a, wenn man die Formel (138) von Gauß in ~ 49 heranzieht. Setzt man darin E — 1, F -0, so wird
(41) K=- -1 iVGHieraus ergibt sich sofort der gewünschte Zusammenhang (40).
Aus unsren Formeln folgt leicht eine geometrische Deutung des
Krümmungsmaßes, die seine Biegungsinvarianz in helles Licht rückt.
Es war für, geodätische Polarkoordinaten
(42) ds d= dr2 + (r2 - -0 r4 +.) d(p
Berechnen wir hieraus die Umfänge L der Kurven r =konst., die
man nach Gauß als,geodätische Kreise" bezeichnet, so finden wir
++
(43) L f G dc f(r- r~ 3 )dr
oder
(44) L =2:r - Kr- - r....
Somit ist, wie J. Bertrand und V. Puiseux 1848 gefunden haben6),
3 2,nv-L
(45) K0 zlim-.
r-0
Das ist die gewünschte ~innere" geometrische Deutung von K. Man
kann sie auch mit Diguet (1848)6) noch etwas anders fassen. Der
Flächeninhalt F unseres geodätischen Kreises ist nämlich
(46) F: Ldr — - K0r4_
0 12 0"
und daraus folgt
12 _r_ - F_
(47) K0 =lim 12 -F 6)
r —0 4 4
6) Vgl. G. Monge, Application..., 5. Aufl. 1850, 4. Note, S. 583-588.
Diguet, Journal de Mathematiques (1) 13 (1848), S. 83-86.