Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

88 Geometrie auf einer Fläche.
und für das Linienelement der Tangentenfläche
(3) I=ds2 = ( + v2)du2+ 2 ddv + dv2.
Ordnen wir unsrer Raumkurve (t) eine ebene Kurve (t)*) so zu, daß
bei längentreuer Abbildung der beiden Kurven 9 (s) = * (s) wird und
beziehen wir die Tangentenfläche (1) von (t) auf die Tangentenfläche
(die Ebene) von (t*)
(4) S*= t* (u)+ v ~*' (U)
durch gleiche u, v-Werte, so ergibt sich derselbe Wert des Bogenelements (I = *). Damit ist der gewünschte Nachweis erbracht.
Ähnlich läßt sich die ~Abwickelbarkeit" der Kegel und Zylinder auf
die Ebene beweisen. Wir kommen auf diese "Abwickelbarkeit" der
Torsen später (~ 60) zurück.
Sind zwei längentreu zugeordnete Flächen so auf Parameter u, v
bezogen, daß entsprechenden Punkten dieselben Parameterwerte zugehören, so stimmen die zugehörigen ersten Grundformen, also E,
F, G für beide Flächen überein. Diese Übereinstimmung sichert die
Längentreue. In der Formel (42) von ~ 36 ist nun das Hauptergebnis
von Gauß enthalten, daß man das Krümmungsmaß K nur aus E, F
und G berechnen kann. Das läßt sich jetzt so aussprechen: Bei
zwei längentreu aufeinander abgebildeten Flächen stimmen in entsprechenden Punkten die Krümmungsmaß/e überein. Diesen Satz hat
Gauß 1822 abgeleitet (vgl. ~ 73).
Es wird sich im folgenden zunächst darum handeln, etwas deutlicher den geometrischen Grund dieser Biegungsinvarianz von K
aufzuhellen.
Da wir früher (~ 46) gezeigt haben, daß die Torsen durch identisches Verschwinden von K gekennzeichnet sind, so folgt aus dem
Gaußschen Satz: Die Torsen sind die einzigen auf die Ebene längentreu
abbildbaren Flächen. Diese Tatsache war schon Euler (1770) und
Monge bekannt. Man nennt die Torsen wegen der "Abwickelbarkeit"
auf die Ebene auch "abwickelbare Flächen". Ließe man auch imaginäre Flächen zu, oder faßte man im reellen Gebiet den Flächenbegriff sehr allgemein1), so wäre dieser Satz mit Einschränkungen zu
versehen.
~ 53. Geodätische Krümmung.
Wenn man die ~Krümmung" einer auf einer Fläche gezogenen
Kurve so erklären will, daß sie bei Verbiegungen der Fläche unverändert bleibt, so braucht man nur die Überlegung von ~ 22 auf die
1) H. Lebesgue, Paris C. R. 128, 1899, S. 1502-1505. Die Tangentenflächen der isotropen Kurven (~ 19) sind nicht ~abwickelbar".