Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, von Wilhelm Blaschke.

4. Kapitel.
Geometrie auf einer Fläche.
~ 52. Verbiegung.
In diesem Kapitel soll der Grundgedanke von Gaußens flächentheoretischen Untersuchungen auseinandergesetzt werden. Denkt man
sich eine Fläche aus einem biegsamen, undehnbaren Stoff hergestellt,
wie er etwa durch Papier verwirklicht wird, so läßt diese Fläche
außer ihrer Beweglichkeit als starrer Körper im allgemeinen auch
noch Formänderungen, sogenannte "Verbiegungen" zu. Die Undehnbarkeit äußert sich dadurch, daß die Bogenlängen aller auf der
Fläche gezogenen Kurven bei der Verbiegung ungeändert bleiben.
Etwas allgemeiner bezeichnet man als "~lngentreue" oder ~isometrische
Abbildung" zweier Flächen aufeinander eine Transformation mit Erhaltung der Längen.
Während nun die gewöhnliche Flächentheorie die Eigenschaften
der Flächen untersucht, die erhalten bleiben, wenn man die Fläche
als starren Körper bewegt, untersucht die Gaußische "Geometrie auf
einer Fläche" die gegenüber längentreuen Abbildungen invarianten
Eigenschaften, also die "inneren" Eigenschaften der Fläche, die nur
von den Maßverhältnissen auf der Fläche selbst und nicht von denen
des umgebenden Raumes abhängen. Diese Betrachtungsweise ist auf
praktischem Boden erwachsen, nämlich aus der Frage der Geodäsie,
was man aus Messungen auf der krummen Erdoberfläche über diese
Fläche aussagen kann.
Als Beispiel der längentreuen Abbildung soll gezeigt werden,
daß man ein genügend kleines Stück einer Torse längentreu auf
die Ebene abbilden kann. Nehmen wir an, um einen bestimmten
Fall herauszugreifen, die Torse sei die Tangentenfläche einer Raumkurve
(1) X-D(")+v'(~),)' t -- 1.
Setzen wir t)' -= und wenden wir die Formeln ~ 6 (71) von Frenet
an, so folgt
(2) ei " +V 3. u = c.