La logique déductive dans sa dernière phase de développement, par Alessandro Padoa. Avec une préface de Giuseppe Peano.

- 92

il suffit de savoir que
a, b s N. ct b. =. (c - b) N et que a - b a - b
c'est-a-dire: un fait a ritlhneique et un fait logique, a savoir une autre
application immediate du principe d'identile.
Done le principe d'identit6, meme dans sa forme lautologique,
peut servir cornme moyen de preuve.
Mais, bien que pour nous le signe (-, signifie toujours (( est la
ezne chose que )) [23, ce signe ne relie pas necessairement deux ecritures identiques. En effe t, par exemple, les polygones e'quilateraux et
les polygones equz'cagles forment deux Cls qu'on definit sepavemenl;
mais on deIlontre, d'apres Euclide, que
triangle equilateral = triangle 6quiangle
et que
triangle euingle gle triangle equilateral
d'oti il resulte [P 52] que
triangle equilateral triangle 6quiangle
Cette egalite n'est pas une tautologie. Ainsi que des centaines
de P analogues, elle enonce la decouverte que deux Cls, differentes au
point de vue de la comprehension (c'est-a-dire des proprietes qui les
caractirisent), se sont revelees egales au point de vue de lextension
(c'est-a-dire des individusl qui les composent); car les mnemes triangles
sont en meme temps equilateralux et equiangles.
Et cette egalite caractlrise les triangles parmi tos les le olyyones;
car un polygone, qui ne serait pas un triangle, pourrait itre equilatleral sans etre eqtiangle, ou eqcliangle sans etre equilateral; c'est
pourquoi il faut une troisieme locution (( polygone r"gyzlier, pour
designer les polygones qui sont en meme temps equilateraux et
equiangles (par exemple, les qziadrilcltrles, des trois especes que je
viens de considirer, sont nommes losanyes, rectangles, cacrkes).
Et ce que je viens de dire pour les Cls pourrait etre repete pour
les conditions; en effet, par exemple, les formules
x -y - e t z + -- — = x
dont nous venons de nous occuper, sont dif/irentes au point de vue
de la compreeiension, mais elles sont egales au point de vue de
l'extension (car les nombres x, y/, z qui verifi/ent ]a premiere, veri/ient
aussi la seconde, et reciproquement).