La logique déductive dans sa dernière phase de développement, par Alessandro Padoa. Avec une préface de Giuseppe Peano.

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a,;r, & N.x =-/: = - + X --- -/ (1)
qui, malgr6 son apparence, n'est pas une vraie P arithmnetique.
En effet, si l'ecriLure quelconque design6e par 'u dans la P 49 est
a 4- )), cette P devient:
x = ey. =. a - xr =- a a- V (2)
et ainsi la v6rite de cette derniere P reste etablie ind6pendlamment
de la Cls a laquelle appartiennent a, x, y et de la signitication du
symbole ( 4-. Et reellement: ne resterait-elle pas vraie meirne si
a, x, y, au lieu d'etre des N, etaient des nombrles d'une espece differente ou d'autres choses quelconques (par ex., des longueurs, des
angles, des volumes, des forces, des vitesses, des poids, des
valeurs, etc.) pour lesquelles on eot donne une syiliiccltion, n'importe laquelle, au signe (( -? et ne resterait-elle pas vraie nieme si,
au lieu du signe (( - ), il s'agissait de n'importe quel autre signe
d'op6ration (par ex., ( X, (( -, etc.), pourvu que a et x soient
des valeurs possibles par rapport a cette oparation [94]? '.
La P (2), ainsi que ses semblables par rapport at un autre signe
d'operation, appartient done aux applications immdliates de la
Logique et n'exige aucune autre condition dans fl'ip; toute tentative
de d6monstration de P de ce type ne saurait etre quiun cparaloyisme.
86. I1 faut encore remarquer que les P 48, 49, O50 ne sont pas
invertissables, c'esl-a-dire que (( ux: ' -- )) n'implique pas necessairement (( x y >,; et de rneme (( xv - Jv a, ((,X'v U =X znv a>.
En effet, par ex., dufait que ( le pere de x = le pere de y, on ne
peutpas conclure que ((x -- y >), car x pourrait etre uni frire ou une
scour de y. Done, toutes les fois qu'une Acriture donnee it est telle que
(( ux -- y )) implique (( x -- )),
ce fait constituera une propriete remarqualle de cette ecriture '1.
C'est pourquoi, par ex., la P
a, x, y~N.a - x- a-c- y =:: x-y (3)
est une vraie P ariZihmltique, qui enonce une propriete de l'addition;
en effet, s'il y a d'autres operations pourlesquelles son- vraies les P
analogues a la (3), il y en a aussi de celles qui n'ont pas la mimee
1. Car, si x< =- y,, cette operation sera forcemrient possible aussi par rapport
a a et y, et le resulltat ne pourra etre que le meme t'auparaYant.
PADOA. 5