La logique déductive dans sa dernière phase de développement, par Alessandro Padoa. Avec une préface de Giuseppe Peano.

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60. Nous envisageons toujours les conditions au point de vue de
l'extension, ainsi que nous faisons pour les Cls [27] et qu'on fait
d'ordinaire pour les equnctions. En d'autres termes: deux conditions
par rapport a x dtant donnees, quelle qu'en soit la forme, nous
disons que lune est egale t l'autre (selon le langage courant on les
dirait equivalentes, mais c'est bien d'une ec/alite qu'il s'agit [23])
toutes les fois que l'ensemble des x qui verifient la premiere est egal
a (savoir, est le mneme que) l'ensemble des x qui verifient la seconde.
Cela etant etabli, je vais demontrer qu'a toute condition par
rapport a x on peut donner la forme d'une aplpartenance entre x et
une Cls determinee, forme que je nommerai ( condition explicite par
rapport a x,).
Soit z la condition donnee; d6signons par a lensemble des x qui
verifient u, c'est-a-dire posons que [59]
x 3 t - a
Avec cela, a est une Cls dcterminje, meme si lon n'en connait
encore aucun individu; done, en comparant cette formule a la
PI [58], on obtient
xaut -x3 (xS a)
et par suite
u x- xsc c. q. f. d.
Comme toute (( condition par rapport a x ) peut acquerir ainsi la
forme ( x S a ), ofu a est une Cls determinee, c'est bien celle-ci la
forme que nous lui donnerons dans les formeles generales.
En remplaCant a par sa valeur, dans la derniere formule, elle
devient
ut xS(X3tl)
et, en r6sumant cette formule avec la P1, il r6sulte que les 6critures
(( x:)) et (( x 3 se detruisent 1'une par lautre, quel qu'en soit
l'ordre, c'est-a-dire qu'elles repr6sentent toujours deux lransformations inverses. Et prtcisment: l'ecriture (( x-i ) transforme iune Cls
quelconque en une (( condition par rapport a x ) et l'ecriture (( x 3
transforme toute (( conditioi par rapport a x )) en une Cls.
61. Boole, et avant lui Leibniz et Lambert, tout en s'occupant des
Cls, n'avaient pas manque d'observer certains liens entre la theorie
isolee. D'autre part, si l'on sent ce scrupule, pourquoi s'arreter au premier pas?
pourquoi ne pas sentir le besoin de placer cette phrase meme devant une P
commenCant par (( ii est vrai que,? et ainsi sans fin?
PADOA. 4