Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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44. Kapitel.

ansehijessende 1. Satz 1) giebt die Beziehiung einer Mittellinie eines
Dreiecks zn dein Winkel ain, aus dessen Spitze sie gezogen ist. Der
Winkel sei nililich emn relhter, emn spitzer oder Oin stumpfer, je
naclidein die Mittellinie gleich der halben Gegenseite ist, die sic
halbirt, oder groisser oder ideiner als diese halbe Seite. Wir fibersetzen woirtlich den Beweis, urn an ilim ein Musterstilek des Ganzen
zu haben:,,Ist die Linie gleich der llUlfte der Basis, so werden Yerm~5ge zweimaliger Anwendung von Euklid I, 4 die beiden Winkel
an der -Basis zusammen dem dritten gleich sein; wegen I, 32 ist also
dieser ein rechter. Ist die Li-nie grdsser, so werden wegen I, 18
jene Winkel an der Basis groisser als der dritte, dieser also spitz.
Ist die Linie kliener, so sind auci die Winkel kiciner als der dritte,
dieser also wegen I, 32 stumpf." Von den hier angefifihrten euklidisehen Sdtzen besagt I, 32, dass die Winkelsuminme des Dreiecks,
zweli Recite betrage un d I, 1.8, dass der gr~isseren Dreieeksseite der
gr~issere Winkel gegeniribersteie. Der dritte noci benntzte euklidiscic
Satz von der Gleiciheit der Winkel an der Grundlinie des gleichschenkligen Dreiecks ist in den durch Theon's von Alexandria Ansogahe tuns ilerlieferten enklidiscien Elementen nicht I, 4 sonderil
I, 5, und hiinliche Abweichungen k~innten zahireich nacigewieseii
werden,7 worauf in andereni Zusammenhange mm niichstena Kapital
mtriickzukommen sein wird. Auci einen Satz, bei weichem der Be
weis an einer mit Bucistaben versehenen Figur gefifirt wird, wolleni
wir aus diesem 1. Bucie etwas, genaner mittieilen, den 7. Satz').
Zwiscien (Figur 13) den Parallelen ac und
d ~~6 b d werden fiber a c die beiden Dreicke abc,
adc gezeichnet, deren Seiten ab, ed siclh
dujrchschneiden; ist alsdann ab > ed, s0 ist
4c~ ade > abc. Wird von den beiden flidciei
Fig. ~ gleichen Dreiecken abc, adc das gemeiinschaftlicie Stilek ace abgezogen, so bleibt
A bce =~ ade, und die Scienkel der den gleicien Dreiecken aiigeihirenden Scheitelwinkel. bei e mifissen nach Enklid VI, 14 (in der
Tieon'schen Ausga be VI, 15) in demi Verhiiltnisse stehen ac: cc == eb: ed.
Daranas folgt ae: cc =- (ac + eb) (cc + ed) == ab cd. Nnn ist
voranssetznngmpmssig a b > c d, also anch ace> ecc, und wenn der
Pnnkt f auf ac so gelegen ist, dass ac: cc == cc: ef, so mmsS
1) Jo r d ai n u s, Triavguli S. 3-4: In omni triangyf lo si ab opposit() angulo ad
mnedium basis (lucta Minca dimidio eiusdlem equalis fuerit, anit Mle angulus rectits;
quod si maior acutus: si vero minor obtusus. 2) Ebencla S. 6: Si super candeml
basim inter lineas equidistandes dute trianguli statuantur, cuius latus iatern sCSC
secanciani maius fuerit, eius angulus Superior winor erit.