Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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78. Kapitel.

Wir entnelimen ihm. den Gang des Beweises fMr das Yerhiiltniss 4: 1
der Gesammtheiten der Wfirfel der Geraden im Parallelogramme und
im Dreiecke'). Zuniichst seien einige Zeichen erklirt, weiche bei
Cavalieri, wie wir fast fiberfflissigerweise bemerken, niclit vorkommen,
deren wir uns aber zur AbkUrzungr bedienen wollen (Figur 156). Urn
die Sumine der qzte-L1 Potenzen aller Geraden in einer
AF gegebenen Figur zu bezeichnen, selireiben wir
N F ~~das Summeuzeichen vor die n~te Potenaz einer Geraden und fiber das Snmmenzeichen die Figur,
auf welehe die Suimmirung sich bezielit. Mitbin
A CDE
C, Fig.16 ist AF3 -= Summe der Wtirfel aller Geraden
im Parallelogramme A CDT, und dafflir kann
man, weil im. Parallelogramme die Geraden sich nicht iindern, auch
AUCDE ACE
AT. A A 2 selireiben. Ferner ist NH 3: Summe der Wflrfel
aller Geraden im. Dreiecke A CT u. s. w. Sind Producte wie NH -HE
Zu summiren oder iihnlich gebaute, deren erster Factor dem Dreiecke
AC iF, der zweite dern Dreiecke CDT angeh6rt, so selireiben wir die
Figur, fiber weiche hier der erste, beziehnngsweise der zweite Factor
zn nehmnen ist, oberhaib beziehungsweise unterhaib des Summenzeichens.
ACF
NH- HE' bedeutet also: soiche Producte NH. HE' sollen dureli
CDE
das gauze Parallelogramm A CD F derart gebildet werden, dass der
lineare Factor immer dem Dreiecke A CT, der quadratische dem
Dreiecke CDT angehbrt. Nach der Formel
(a + b)3 a' + b3 + 3alb + 3ab2
ist nun leiclit ersiclitlich
A4CD E ACE ODE ACE ACE
~AT3= = _NH3 + HE 4-3 N HE2 + 3 NH2. HE.2
(CDF CI)F
Andererseits
ACDE ACDE
AT3- AT AT2,
un d da
ACDE CDE
so ist emn zweiter Werth von
-A CE CDF ACDE ACE 1 6F
~AT~ - 3 T2 HE2-3 ~NE. HE2== 3 N JE2t3 ~IIE3.
__________ ODE OD~~~~ca E c d

1) Exercitationes Geometricae pag. 273-274.