Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Infinitesimalbetraclitungen. Kepler. Cavalieri.83

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und das ergiinzende Trilineum CMHG zwei Drittel desselben, wiihrend das Dreieck CHfG dessen H~ilfte iet. Da links von (CG Thnliche Verh~iltnisse obwalten, so 1st damit der Satz bewiesen. Mit
Uebergehung des ganzen V. Buches erwiihnen wir den 9. Satz des
VI. Buches 1), weleher die Quadratur der Archimedisehen Spirale enthillt. Diese war,2 ebenso wie die Quadratur der Parabel, allerdings
schon von Archuined ermittelt (Bd. I, S. 289-290), es bedurfte
also keiner neuen Entdeckung, sondern nur eines neuen Beweises voiii
Gesichtspunkte der Indivisibilien aus. Bei dem ohuedies verwickelten
Gegenstande sei ohne YVeriinderung des Ganges der Darstellung, wie
Cavalieri sie giebt, eine etwas veriinderte Ausdrueksweise hier geetfattet (Figur 154). Unter Flache der Spirale wird der Raum AD UBA
verstanden, welch er begrenzt
ist durch die Spirale von if - — _ __ t
ihrem Anfangspnnkte A bis
zu B, wo die erste Umdrehung F
des erzeugenden Leitstrahles
vollendet ist, nud von dem/
letzten Leitetrahle A B. Sie
kann ale Unterechied zweier
anderer Filichen aufgefasst Fig 151.
werden, nalmlich des mit
AB == B ale llalbmesser beschriebeneni Kreises ZB und des Raumes
A-DCBC1 DB, weicher Q heiseen mag. Die Gleichung der Spirale
iet 9 =- k~p, wo 9 den Leitstrahl, 'p das Langenmaass des Kreisbogens vom Halbmesser 1 bedeutet, welcher die vollzogen e Drehung
dee Leitstrahles bespannt. Da nun der Annahme nach 'p == 2zr bei
B wird, so jet B= 22rk, k- B=R7Q= )~9 - 7
2 z 2 7 '
__-der Lange des Kreisbogene D'D, weleher ale eine gekriimmte Indivisibilie des Raurnes Q betrachtet werdeii kann. Nun
werde emn Rechteck PEFGH mit der Grundlinie PG == 2zB und
der 116he PP- B gezeichnet, dessen Inhalt demnach 2mB2 jet.
Innerhalb des Rechtecks mit P ale Scheitel, PH ale Axe, wird eine
durch G hindurchgehiende Parabel y2 =- ax gezeichnet. Der vorgeschriebenen Bedingung der Zeichnung gemalss jet Ij 2 a - 2zmB,
IR 2 __ 2y
a =~ e -also die Parabelgleichung y2 ode ~y So oft
2 z ~ ~~k- 1
folglich y == Q, jet x gleich der Lange des Kreiebogenas D'D. Man
kann aber x ale Indivisibilie des Trilineumns PPFUJE betracliten, in

') hIdivisibilien pag. 436-439.