Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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76. Kapitel.

1654 an Pascal. Der Wortlaut dieser letzteren Mittheilung verdient
von einemn gewissen Absatze an Beaclitung. Der Satz selbst besteht
darin, dass die fortgesetzte Quadrirung von 2 bei Vermelirung der
betreffenden Poteuzen urn 1 lauter Primzablen gebe, dass also 2 k + t
immer Primzahl sei. Als Beispiele fiihrt Fermat an: 22 + 1 == 5,
21 + 1-17, 28 + 1 = 257, 216 + 1 = 65537, und nunl figt er
binzu:,,Es ist das eine Eigenschaft, fMr deren Wahrheit ich einstehe;
der Beweis ist sehr unangenehm, und ich bekenne, dass ich ilin noch
niclit vollst'andig zu. erledigen im. Stande war. Ich wiirde Ilinen
niclit vorselilagen, einen Beweis zu suchen, wenn ich damit zu Stande
gekcoimen ware." Das Eigeuthfimliche besteht darin, dass der Satz
irrig ist, und dass, wenn Fermat in semnen Beispielen -urn einen emnzigen Schritt weiter gegangen ware, er mit
232 -i- 1 = 4294967297 =: 641. 6700417
die erste zitsammengesetzte Zahl jener vermeintlichen Primzahlenform
vor sich gehabt hatte. Fermat hat also in seiner Behauptung sich
getauscht. Urn so scharfer tritt neben der festen Ueberzeugung von
der Richtigkeit des Satzes die offene Erklarung entgegen, es sei ihm
nicht gegliickt, einen zureichenden Beweis aufzuflnden. Sie muss
uns in der Ueberzeugung bestarken, dass Fermat, wenn er auch
vielleicht etwas rasch zu Verallgemeinerungen geneigt war, doch eine
einfache Induction nicht als Beweis ainerkaunte, dass er also, wo er
von thatsachlich gefifihrten Beweisen sprach, auch wirklich solche, die
ihm. tadellos erschienen, besessen haben muss.
Wormn bestanden aber die zahlentheoretischen Methoden Fermat's?
Er rtihmte sich soldier schon sehr friihe. Scion am 16. December
1636 schrieb er an Roberval'): Pour ce qui est des nombres et de
lersparties aliquotes j'ai trouve' une me'ho e gneral orsur
toutes les questions par alg(bre, de quoy j'ai fait dessein d'eJcrire uu.petit traitei Allein da diese Abhandlung Uiber aliquote Theile, verumuthlich also auci ilber deren Summe, fiber volikommeine Zailen
und dergleichen nicit zu. Stande kam, so kann sie fiber die in ilir
zur Auwendung gebrachte allgemeine Methode keinle Auskunft ertheilen. Etwas bessere Ausbeute gewairt emn Ilruchstiick, welches
unter der Aufscirift Belation des djeouvertes en la science des nombres
in der Leidener Bibliotiek aufgefnndeni worden ist 2).Fermat erkiar
darin, er habe, da die in den Bfichern gelehrten Methoden sich beinm
Beweise schwieriger Saltze als untauglich erwiesen, eine neue Methode
erfunden, welche er la descente infinie ou indefinie, di e u nen dli cie
1) Fermnat, Varia Opera pag. 149. 2)Henry pag. 213-216 (XII, 687
-690).